A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation \mathrm{s}=20.
Find a 95 \% \mathrm{CI} for m when n=10 and \bar{x}=1000.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu do ganho. As informações dadas são:
\text{dados:}\quad n=10,\quad \bar{x}=1000,\quad s=20.
Queremos encontrar os extremos do intervalo de confiança para \mu com nível de confiança 95\%.

Passo 2

Decidindo o método: o enunciado diz que a variável é normalmente distribuída e fornece o desvio padrão s=20. Vou tratar esse número como o desvio padrão conhecido da população ( \sigma=20). Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos a distribuição normal padrão (valor crítico z) para construir o intervalo de confiança. (Se \sigma não fosse conhecido e tivéssemos apenas o s da amostra, usaríamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade — só para você saber.)

Passo 3

Nível de confiança e valor crítico: o nível de confiança é 95\%, então o nível de significância é
\alpha = 1-0{,}95 = 0{,}05.
O valor crítico corresponde a z_{\alpha/2}=z_{0{,}025}. Pelo quadro padrão da normal, temos
z_{0{,}025}=1{,}96.
Isto significa que P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95 para Z com distribuição normal padrão.

Passo 4

Fórmula do intervalo de confiança quando \sigma é conhecido:
\text{IC:}\quad \bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (dada);
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da normal padrão (já achamos 1{,}96);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (estou usando \sigma=20);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623.
Erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{10}}\approx \frac{20}{3{,}1623}\approx 6{,}3246.
Margem de erro:
E=z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot 6{,}3246\approx 12{,}396.
Arredondando a margem para uma casa decimal (prático para prova):
E\approx 12{,}4.
Portanto os extremos do intervalo são:
\text{limite inferior}= \bar{x}-E = 1000-12{,}396\approx 987{,}6,
\text{limite superior}= \bar{x}+E = 1000+12{,}396\approx 1012{,}4.

Passo 6

Interpretação final (do jeito que você pode escrever na prova):
Estamos 95\% confiantes de que o verdadeiro valor da média \mu do ganho está entre 987{,}6 e 1012{,}4. Se, em vez disso, o 20 fosse apenas o desvio amostral e \sigma fosse desconhecido, usaríamos a distribuição t e valores um pouco maiores para a margem de erro (isso reduziria ainda mais a confiança na precisão quando n é pequeno).

Resposta

(987{,}6,\;1012{,}4)

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