Consider the one-sided confidence interval expressions for a mean of a normal population.
What value of z_{\alpha / 2} in Equation 8-5 gives 75 \% confidence?

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar o valor de z_{\alpha/2} que corresponde a uma confiança de 75\%.
Informações dadas: o nível de confiança é 0,75. Não há outras informações (por exemplo, tabela ou calculadora especificada), então vamos usar a definição do quantil da normal padrão e/ou tabela/funcão inversa da normal.

Passo 2

Conectar nível de confiança com \alpha. Por definição, o nível de confiança 1-\alpha é a probabilidade central coberta pelo intervalo. Então:
1-\alpha = 0,75.
Isolando \alpha,
\alpha = 1 - 0,75 = 0,25.

Passo 3

Explicar por que aparece \alpha/2. Em intervalos bilaterais (o uso típico de z_{\alpha/2}), o erro total \alpha é dividido igualmente entre as duas caudas da distribuição normal — portanto cada cauda tem área \alpha/2. Assim:
\alpha/2 = 0,25/2 = 0,125.

Passo 4

Interpretar z_{\alpha/2} em termos da função de distribuição da normal padrão. Se Z\sim N(0,1), o valor z_{\alpha/2} é o ponto tal que a probabilidade à direita é \alpha/2. Equivalentemente, a probabilidade à esquerda é
P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,125 = 0,875.
Portanto precisamos do quantil \Phi^{-1}(0,875), onde \Phi é a CDF da normal padrão.

Passo 5

Encontrar numericamente o quantil \Phi^{-1}(0,875). Usando uma tabela da normal padrão ou uma função inversa (calculadora, software), o valor que dá \Phi(z)=0,875 é aproximadamente
z_{\alpha/2} \approx 1,15035.
Na prática costuma-se arredondar para 1,15.

Resposta

z_{\alpha/2}\approx1,15035

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