A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation
.
How does the length of the CIs computed change with the changes in sample size and confidence level?
How does the length of the CIs computed change with the changes in sample size and confidence level?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação: a variável “gain” (ganho) é normalmente distribuída e a sua desvio padrão é
. - Pedido: entender como o comprimento dos intervalos de confiança (CIs) muda quando variamos o tamanho da amostra e o nível de confiança.
Passo 2
Qual é a forma do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal e a desvio padrão populacional
é conhecido?
- Aula curta: quando a população é normal e conhecemos
, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança é dado por
onde:
-
é a média amostral (não precisamos do valor aqui, porque estamos interessados no comprimento do intervalo); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda (por exemplo, para 95% de confiança e ); -
é o desvio padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra.
Explicando:determina quão “largo” o intervalo precisa ser para capturar a média com a probabilidade desejada; é o erro padrão da média (quanto menor, mais preciso).
Passo 3
Expressão do comprimento (length) do intervalo e interpretação matemática.
- O comprimento total do intervalo (distância entre o limite superior e o inferior) é
- Aqui cada componente significa:
-
porque temos em torno de ; -
controla o efeito do nível de confiança; -
mostra a dependência com o tamanho da amostra.
Portanto, matematicamente: - se
é fixo (aqui ), então varia como .
-
Passo 4
Como o comprimento muda quando aumentamos
(tamanho da amostra)?
- Observe a parte
no denominador. Se aumentarmos por um fator (ou seja, vira ), o comprimento muda por um fator . - Conclusão prática:
decresce com na taxa . Para duplicar a precisão (diminuir pela metade) precisaríamos aumentar por um fator (porque ). - Exemplo numérico rápido usando
e um mesmo nível de confiança: se aumenta de para (fator ), o comprimento cai a do anterior.
Passo 5
Como o comprimento muda quando aumentamos o nível de confiança?
- O nível de confiança maior implica
menor e, portanto, maior. Como é diretamente proporcional a , aumentar o nível de confiança aumenta . - Interpretação: pedir mais confiança (por exemplo, passar de 95% para 99%) faz o intervalo ficar mais largo — estamos mais “confiantes”, por isso precisamos de um intervalo maior para garantir essa confiança.
Passo 6
Valores típicos de
e exemplos numéricos com
.
- Valores usuais:
- para 90% de confiança:
; - para 95% de confiança:
; - para 99% de confiança:
.
- para 90% de confiança:
- Usando
e a fórmula , alguns exemplos: - Para 95% e
: então
- Para 95% e
: então
- Para 90% e
:
- Para 99% e
:
- Para 95% e
Esses números mostram claramente: aumentando
o comprimento cai; aumentando o nível de confiança (90% → 95% → 99%) o comprimento sobe.
Passo 7
Resumo prático e regra de bolso para a prova (fica na cabeça):
- Fórmula chave:
com neste problema. Memoriza isso — é o ponto central. - Efeito do tamanho da amostra:
diminui proporcionalmente a . Dobrar reduz por cerca de (fator ). Quadruplicar reduz pela metade. - Efeito do nível de confiança: maior nível → maior
→ maior . Planeje um trade-off entre precisão (comprimento menor) e confiança.