A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation \mathrm{s}=20.
How does the length of the CIs computed change with the changes in sample size and confidence level?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação: a variável “gain” (ganho) é normalmente distribuída e a sua desvio padrão é \mathrm{s}=20.
  • Pedido: entender como o comprimento dos intervalos de confiança (CIs) muda quando variamos o tamanho da amostra e o nível de confiança.

Passo 2

Qual é a forma do intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal e a desvio padrão populacional \sigma é conhecido?
  • Aula curta: quando a população é normal e conhecemos \sigma, o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (não precisamos do valor aqui, porque estamos interessados no comprimento do intervalo);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2 (por exemplo, para 95% de confiança \alpha=0,05 e z_{0,025}\approx1,96);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=20);
  • n é o tamanho da amostra.
    Explicando: z_{\alpha/2} determina quão “largo” o intervalo precisa ser para capturar a média com a probabilidade desejada; \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto menor, mais preciso).

Passo 3

Expressão do comprimento (length) do intervalo e interpretação matemática.
  • O comprimento total do intervalo (distância entre o limite superior e o inferior) é
L = 2\,z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Aqui cada componente significa:
    • 2 porque temos \pm em torno de \bar{x};
    • z_{\alpha/2} controla o efeito do nível de confiança;
    • \sigma/\sqrt{n} mostra a dependência com o tamanho da amostra.
      Portanto, matematicamente:
    • se \sigma é fixo (aqui \sigma=20), então L varia como z_{\alpha/2}/\sqrt{n}.

Passo 4

Como o comprimento muda quando aumentamos n (tamanho da amostra)?
  • Observe a parte \sqrt{n} no denominador. Se aumentarmos n por um fator k (ou seja, n vira kn), o comprimento L muda por um fator 1/\sqrt{k}.
  • Conclusão prática: L decresce com n na taxa 1/\sqrt{n}. Para duplicar a precisão (diminuir L pela metade) precisaríamos aumentar n por um fator 4 (porque 1/\sqrt{4}=1/2).
  • Exemplo numérico rápido usando \sigma=20 e um mesmo nível de confiança: se n aumenta de 25 para 100 (fator k=4), o comprimento cai a 1/2 do anterior.

Passo 5

Como o comprimento muda quando aumentamos o nível de confiança?
  • O nível de confiança maior implica \alpha menor e, portanto, z_{\alpha/2} maior. Como L é diretamente proporcional a z_{\alpha/2}, aumentar o nível de confiança aumenta L.
  • Interpretação: pedir mais confiança (por exemplo, passar de 95% para 99%) faz o intervalo ficar mais largo — estamos mais “confiantes”, por isso precisamos de um intervalo maior para garantir essa confiança.

Passo 6

Valores típicos de z_{\alpha/2} e exemplos numéricos com \sigma=20.
  • Valores usuais:
    • para 90% de confiança: z_{0,05} \approx 1,645;
    • para 95% de confiança: z_{0,025} \approx 1,96;
    • para 99% de confiança: z_{0,005} \approx 2,576.
  • Usando \sigma=20 e a fórmula L=2 z_{\alpha/2}\frac{20}{\sqrt{n}}, alguns exemplos:
    • Para 95% e n=25: \sqrt{25}=5 então
    L = 2\cdot 1,96\cdot \frac{20}{5} = 2\cdot 1,96\cdot 4 = 15,68.
    • Para 95% e n=100: \sqrt{100}=10 então
    L = 2\cdot 1,96\cdot \frac{20}{10} = 2\cdot 1,96\cdot 2 = 7,84.
    • Para 90% e n=25:
    L = 2\cdot 1,645\cdot 4 = 13,16.
    • Para 99% e n=25:
    L = 2\cdot 2,576\cdot 4 = 20,608.
Esses números mostram claramente: aumentando n o comprimento cai; aumentando o nível de confiança (90% → 95% → 99%) o comprimento sobe.

Passo 7

Resumo prático e regra de bolso para a prova (fica na cabeça):
  • Fórmula chave: \displaystyle L = 2\,z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} com \sigma=20 neste problema. Memoriza isso — é o ponto central.
  • Efeito do tamanho da amostra: L diminui proporcionalmente a 1/\sqrt{n}. Dobrar n reduz L por cerca de 29{,}3\% (fator 1/\sqrt{2}\approx0{,}707). Quadruplicar n reduz L pela metade.
  • Efeito do nível de confiança: maior nível → maior z_{\alpha/2} → maior L. Planeje um trade-off entre precisão (comprimento menor) e confiança.

Resposta

\displaystyle L = 2\,z_{\alpha/2}\,\frac{20}{\sqrt{n}}.\nO comprimento diminui com n como 1/\sqrt{n} e aumenta quando o nível de confiança aumenta (porque z_{\alpha/2} aumenta).

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