Para as configurações abaixo, escreva todos os termos espectroscópicos resultantes e, de acordo com as regras de Hund, forneça o estado de menor energia:
1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1} :

Passo 1

O enunciado dá a configuração eletrônica 1s^{2}\,2s^{2}\,2p^{1} e pede duas coisas:
  • escrever todos os termos espectroscópicos resultantes dessa configuração;
  • usando as regras de Hund, indicar qual é o estado de menor energia.
Informações relevantes do enunciado:
  • As camadas 1s^{2} e 2s^{2} estão preenchidas (fechadas).
  • Há um elétron na subcamada 2p (ou seja, configuração efetiva p^{1} para os elétrons ativos).
  • Deve-se fornecer os termos no formato \,^{2S+1}L_{J}\, e aplicar as regras de Hund para ordenar energias.

Passo 2

Breve revisão dos símbolos e conceitos que vou usar (calma — é só o essencial):
  • Um termo espectroscópico é escrito como \,^{2S+1}L_{J}, onde:
    • S é o momento angular de spin total (somatório dos spins dos elétrons);
    • 2S+1 é a multiplicidade (número de níveis de spin possíveis);
    • L é o momento angular orbital total, identificado por letra ( L=0\to S,\;1\to P,\;2\to D, etc.);
    • J é o momento angular total (\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}).
  • Elétrons em camadas fechadas têm S=0 e L=0 (são “inertes” para os termos), por isso só o(s) elétron(es) na subcamada 2p vão determinar os termos.
  • Para um único elétron em um orbital com momento l, temos imediatamente L=l e S=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando o item anterior ao caso prático:
  • O elétron ativo está em um orbital p, portanto l=1.
  • Como é um único elétron, o momento orbital total do conjunto é L=1.
  • O spin total é S=\tfrac{1}{2}, logo a multiplicidade é 2S+1=2.
Portanto, o símbolo de termo sem considerar J é \,^{2}P.

Passo 4

Agora obtenho os possíveis valores de J. Para um termo com dados L e S,
J = L+S,\;L+S-1,\;\dots,\;|L-S|.
Com L=1 e S=\tfrac{1}{2} temos
J = 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}\quad\text{e}\quad J=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Assim os níveis finos possíveis são \,^{2}P_{3/2} e \,^{2}P_{1/2}.

Passo 5

Resumo até agora (lista de todos os termos espectroscópicos resultantes):
  • \,^{2}P_{3/2}
  • \,^{2}P_{1/2}
(essas são todas as combinações possíveis para um elétron p^{1}.)

Passo 6

Agora uso as regras de Hund para escolher o estado de menor energia. Lembrete das regras principais, em linguagem simples:
  • Regra 1: o termo com maior multiplicidade 2S+1 tende a ter menor energia (aqui só há uma multiplicidade: 2).
  • Regra 2: para termos com mesma multiplicidade, o maior L tende a ter menor energia (aqui só há L=1).
  • Regra 3 (importante para o desempate fino): para subcamadas menos que meio-cheias, o nível com menor J tem menor energia; para subcamadas mais que meio-cheias, o nível com maior J tem menor energia.
No nosso caso a subcamada p comporta no máximo 6 elétrons; há só 1 elétron, ou seja a subcamada está bem abaixo da metade. Portanto, pela Regra 3, o menor J corresponde ao nível de menor energia.
Entre J=\tfrac{1}{2} e J=\tfrac{3}{2}, o menor é J=\tfrac{1}{2}. Logo o estado fundamental (de menor energia) é \,^{2}P_{1/2}.

Passo 7

Uma pequena demonstração física (opcional, mas ajuda a entender por que a Regra 3 funciona aqui):
  • A interação spin-órbita tem energia proporcional a \langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle.
  • Usa-se a identidade
\langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle = \tfrac{1}{2}\big[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)\big].
  • Para L=1, S=\tfrac{1}{2}:
    • se J=\tfrac{3}{2}: \langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle = \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big)=\tfrac{1}{2}.
    • se J=\tfrac{1}{2}: \langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle = \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big)=-1.
  • A constante de acoplamento spin-órbita \xi para um elétron costuma ser positiva, de modo que a energia de spin-órbita é \sim \xi\langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle. Assim o nível com \langle \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}\rangle menor (mais negativo), aqui J=\tfrac{1}{2}, fica com energia mais baixa — consistente com a Regra 3.

Resposta

Termos: ^{2}P_{3/2},\;^{2}P_{1/2}
Estado de menor energia: ^{2}P_{1/2}

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