Configure integrais triplas para o volume da esfera \rho=2 em coordenadas
cilíndricas

Passo 1

O enunciado pede para configurar integrais triplas que descrevam o volume da esfera de raio 2 usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais triplas e aplicação do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
A esfera de raio 2 tem equação
x^2 + y^2 + z^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad r^2 + z^2 = 4,
logo o ponto (r,\theta,z) satisfaz 0\le r\le 2 e -\sqrt{4 - r^2}\le z\le +\sqrt{4 - r^2}.

Passo 3

Para montar o integral, escolhemos a ordem de integração \theta, r, z ou \theta, z, r. Nos dois casos \theta percorre todo o círculo, isto é, 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 4

Duas configurações equivalentes são:
  1. Integrando em z primeiro, depois em r e por fim em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Integrando em \theta primeiro, depois em r e z, porém trocando a ordem r z:
\int_{z=-2}^{2} \int_{r=0}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{\theta=0}^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz.

Resposta

\boxed{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta \quad\text{ou}\quad \int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz. }

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