[Polinômio Chebyshev T_{3}(t) ] Usando o método das séries de potência com centro em t=0 encontre o valor de \beta de modo que o pvi
\left\{\begin{aligned} \left(1-t^{2}\right) y^{\prime \prime}(t)-t y(t)+9 y(t) & \equiv 0 \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =\beta \\\ y(-1) & =-1 \\\ y(1)= & =1 \end{aligned}\right.
tenha como solução uma série de potências que seja um polinômio (série que termina, ou seja, a partir de um certo Y_{n}, todos os demais serão zero também)…

Passo 1

O enunciado pede a solução polinomial (série de potências que termine) do problema de valor inicial para a equação de Chebyshev de ordem 3,
(1 - t^2)\,y''(t) \;-\; t\,y'(t)\;+\;9\,y(t)\;=\;0,
com condições
y(0)=0,\quad y'(0)=\beta,\quad y(-1)=-1,\quad y(1)=1.
Vamos usar o método de séries de potências centradas em t=0, obter uma recorrência para os coeficientes e exigir que a série termine, produzindo um polinômio de grau 3 (o polinômio de Chebyshev T_{3}).

Passo 2

Assuma
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,t^{n}, \quad y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,t^{n-1}, \quad y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,t^{n-2}.
Substituindo em (1-t^2)y'' - t\,y' + 9y=0 e rearranjando potências de t, obtemos o coeficiente geral de t^n:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\;+\;(9 - n^2)\,a_{n}\;=\;0, \quad n\ge0.

Passo 3

Das condições iniciais temos
a_{0}=y(0)=0, \qquad a_{1}=y'(0)=\beta.
Pela recorrência:
  • Para n=0:
a_{2}=-\frac{9-0^{2}}{2\cdot1}\,a_{0}=-\frac{9}{2}\cdot0=0.
  • Para n=1:
a_{3}=-\frac{9-1^{2}}{3\cdot2}\,a_{1} =-\frac{8}{6}\,\beta =-\frac{4}{3}\,\beta.
  • Para n=3: 9-3^{2}=0 implica a_{5}=0. E como a_{2}=0, todos os coeficientes de grau >=4 ficam nulos.
Logo a série termina em grau 3 e
y(t)=a_{1}t+a_{3}t^{3} =\beta\,t \;-\;\tfrac{4}{3}\beta\,t^{3}.

Passo 4

Imponha y(1)=1:
y(1)=\beta\,(1-\tfrac{4}{3})=-\tfrac{\beta}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad \beta=-3.
A condição y(-1)=-1 vale automaticamente porque o polinômio é ímpar.

Resposta

\displaystyle \beta = -3

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