[Questão corrigida- Método de Frobenius] Considere a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis: 3 t y^{\prime \prime}(t)+2 y^{\prime}(t)-4 y(t) \equiv 0. (a) Mostre que \mathrm{t}=0 é um ponto singular regular; (b) Usando o chute t^{r} \sum_{n=0}^{\infty} Y_{n} t^{n} mostre que os dois possíveis valores para r são r=1 / 3 e r=0. (c) Escolha r=1 / 3 e assuma que Y_{0}=1 para encontrar os valores de Y_{1}=?, Y_{2}=?, Y_{3}= ? e Y_{4}= ? para a solução - aproximada - correspondente a r=1 / 3, ou seja, ache
y(t) \approx t^{1 / 3} \times\left(1+Y_{1} t+Y_{2} t^{2}+Y_{3} t^{3}+Y_{4} t^{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
3\,t\,y''(t) + 2\,y'(t) - 4\,y(t) = 0
e pede: (a) mostrar que t=0 é ponto singular regular; (b) usar o chute de Frobenius
y(t)=t^{r}\sum_{n=0}^{\infty}Y_{n}\,t^{n}
para encontrar os valores de r; (c) escolhendo r=1/3 e Y_{0}=1, calcular Y_{1},Y_{2},Y_{3},Y_{4}.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0,
dividindo por 3t. Obtemos
p(t)=\frac{2}{3t}, \quad q(t)=-\frac{4}{3t}.
Para t=0 verificar ponto singular regular requer que t\,p(t) e t^{2}q(t) sejam analíticos em t=0. De fato
t\,p(t)=\frac{2}{3}, \quad t^{2}q(t)=-\frac{4}{3}\,t,
ambos analíticos em t=0. Logo t=0 é ponto singular regular.

Passo 3

O polinômio indicial vem de
r(r-1) + p_{0}\,r + q_{0} = 0,
onde p_{0}=\lim_{t\to0}t\,p(t)=2/3 e q_{0}=\lim_{t\to0}t^{2}q(t)=0. Então
r(r-1)+\tfrac{2}{3}r=0 \;\Longrightarrow\; r\bigl(r-\tfrac13\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; r=0\text{ ou }r=\tfrac13.

Passo 4

Substituindo
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}Y_{n}\,t^{n+r},
calcula-se y' e y'', insere em 3t\,y''+2y' -4y=0 e agrupa em potências de t^{n+r-1}. Aparece a relação de recorrência geral
\bigl[3(n+r)(n+r-1)+2(n+r)\bigr]\,Y_{n} -4\,Y_{n-1}=0,
ou seja
Y_{n} =\frac{4\,Y_{n-1}} {(n+r)\,\bigl(3(n+r)-1\bigr)}.

Passo 5

Escolhendo r=\tfrac13 simplifica-se o denominador: 3r-1=0, daí
(n+r)\bigl(3(n+r)-1\bigr) =(n+\tfrac13)\,(3n) =n\,(3n+1).
Logo para n\ge1
Y_{n} =\frac{4\,Y_{n-1}}{n\,(3n+1)}.

Passo 6

Com Y_{0}=1 obtemos
Y_{1} =\frac{4\,Y_{0}}{1\cdot(3\cdot1+1)} =\frac{4}{4}=1,
Y_{2} =\frac{4\,Y_{1}}{2\cdot(3\cdot2+1)} =\frac{4}{2\cdot7}=\frac{2}{7},
Y_{3} =\frac{4\,Y_{2}}{3\cdot(3\cdot3+1)} =\frac{4\cdot\frac{2}{7}}{3\cdot10} =\frac{4}{105},
Y_{4} =\frac{4\,Y_{3}}{4\cdot(3\cdot4+1)} =\frac{4\cdot\frac{4}{105}}{4\cdot13} =\frac{4}{1365}.

Resposta

y(t)\approx t^{\tfrac13}\biggl(1 + 1\,t + \tfrac{2}{7}\,t^{2} + \tfrac{4}{105}\,t^{3} + \tfrac{4}{1365}\,t^{4}\biggr).

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