If f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} and g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n!}, find the power series of \frac{1}{2}(f(x)+g(x)) and of $\frac{1}{2}(f(x)-g(x)).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}
e pede as séries de potência de
\tfrac12\bigl(f(x)+g(x)\bigr) e de \tfrac12\bigl(f(x)-g(x)\bigr).
Para isso vamos somar e subtrair termo a termo as séries, usando a propriedade de séries de potência: podem ser combinadas índice a índice.

Passo 2

Começamos com
f(x)+g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} +\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[1+(-1)^n\bigr]\frac{x^n}{n!}.
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\tfrac12\bigl(f(x)+g(x)\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{2}\,\frac{x^n}{n!}.

Passo 3

Observe que
1+(-1)^n= \begin{cases} 2,&\text{se \(n\) é par},\\ 0,&\text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
Portanto só restam os termos de índice par. Escrevendo n=2k, k=0,1,2,\dots, temos
\tfrac12\bigl(f(x)+g(x)\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.

Passo 4

Agora subtraímos:
f(x)-g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[1-(-1)^n\bigr]\frac{x^n}{n!},
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\tfrac12\bigl(f(x)-g(x)\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{x^n}{n!}.
Note que
1-(-1)^n= \begin{cases} 0,&\text{se \(n\) é par},\\ 2,&\text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
Residem então apenas os termos ímpares. Escrevendo n=2k+1, k=0,1,2,\dots, obtemos
\tfrac12\bigl(f(x)-g(x)\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Resposta

\tfrac{1}{2} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!},
\tfrac{1}{2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

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