Configure a integral iterada para avaliar integral tripla f(r, theta, z) r d z d r d theta sobre a região dada D, onde D é o prisma cuja base é o triângulo no plano x y limitado pelo eixo x, pelas linhas y=x e x=1, e cujo topo está no plano z=2-x.

Passo 1

A questão pede para configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas $ (r,\theta,z) $ da forma $ \iiint_D f(r,\theta,z),r,dz,dr,d\theta $. O que precisamos: entender a projeção no plano (r,theta,z) (o triângulo com vértices em integral triplaD f(r,theta,z),r,dz,dr,dtheta , xy e (0,0)) e o limite em (1,0) dado por (1,1).

Passo 2

No plano xy, o triângulo fica entre a reta y=0, a reta y=x e a reta x=1. Em coordenadas polares temos x=rcostheta e y=rsintheta. Assim, y=0 é theta=0 e y=x é theta=pi/4. A reta x=1 vira rcostheta=1, ou seja, r=1/costheta. Portanto
Em (r,theta) temos
0 <= theta <= pi4, 0 <= r <= 1costheta

Passo 3

O prisma é vertical sobre esse triângulo, com base em z=0 e topo no plano z=2-x. Em coordenadas polares x=rcostheta, logo o limite superior de z é 2-rcostheta. Portanto os limites de z são
0 <= z <= 2 - rcostheta,
e agora basta juntar todos os limites na integral iterada.

Resposta

integraltheta=0^,pi/4 integralr=0^,1/costheta integralz=0^,2 - rcostheta f(r,theta,z);r;dz;dr;dtheta

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