Confira que a origem é ponto crítico de
f(x, y)=x^3-4 x y^2
Mas que ela não é ponto de mínimo nem de máximo local. Dica: Encontre os zeros de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a origem (0, 0) é um ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{3} - 4xy^{2} $. Além disso, precisamos mostrar que esse ponto não é nem um mínimo nem um máximo local. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como determinar se são mínimos, máximos ou pontos de sela. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função acontece quando todas as derivadas parciais da função iguais a zero nesse ponto. No nosso caso, como a função tem duas variáveis, vamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x:
fx(x, y) = partial fpartial x = 3x^2 - 4y^2
E a derivada parcial de f em relação a y:
fy(x, y) = partial fpartial y = -8xy

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0
Ou seja:
3x^2 - 4y^2 = 0 e -8xy = 0

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação primeiro:
-8xy = 0 implies x = 0 ou y = 0
Caso 1: x = 0
Substituindo na primeira equação:
3(0)^2 - 4y^2 = -4y^2 = 0 implies y^2 = 0 implies y = 0
Então, temos o ponto (0, 0).
Caso 2: y = 0
Substituindo na primeira equação:
3x^2 - 4(0)^2 = 3x^2 = 0 implies x^2 = 0 implies x = 0
Novamente, o ponto (0, 0).

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico da função é a origem (0, 0). Agora, precisamos mostrar que esse ponto não é nem um mínimo nem um máximo local.

Passo 7

Para determinar a natureza do ponto crítico, vamos analisar os valores da função ao redor da origem. Se em algum entorno do ponto a função assumir valores maiores e menores que o valor no ponto crítico, então ele não pode ser um mínimo nem um máximo local, caracterizando um ponto de sela.

Passo 8

Vamos considerar a função f(x, y) = x^3 - 4xy^2. Vamos analisar os zeros de f, ou seja, os pontos onde f(x, y) = 0:
x^3 - 4xy^2 = 0 implies x(x^2 - 4y^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. x^2 - 4y^2 = 0 implies y = pm x2

Passo 9

Vamos escolher caminhos diferentes que se aproximam da origem e ver o comportamento de f:
Caminho 1: y = 0
f(x, 0) = x^3 - 4x(0)^2 = x^3
Para x > 0, f(x, 0) > 0; para x < 0, f(x, 0) < 0.
Caminho 2: y = x2
f(x, x2) = x^3 - 4x(x2)^2 = x^3 - 4x(x^24) = x^3 - x^3 = 0
Caminho 3: y = xraiz2
f(x, xraiz2) = x^3 - 4x(xraiz2)^2 = x^3 - 4x(x^22) = x^3 - 2x^3 = -x^3

Passo 10

Observando os resultados:
  • No Caminho 1, f(x, 0) assume valores positivos e negativos próximos à origem.
  • No Caminho 2, f(x, y) = 0.
  • No Caminho 3, f(x, y) também assume valores positivos e negativos dependendo do sinal de x.
Isso mostra que, próximo à origem, a função f(x, y) pode assumir valores positivos e negativos, indicando que a origem não é um ponto de mínimo nem de máximo, mas sim um ponto de sela.

Resposta

A origem (0, 0) é um ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{3} - 4xy^{2} $, porém não é nem um mínimo nem um máximo local, caracterizando-se como um ponto de sela.

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