Confira que a origem é ponto crítico de
Mas que ela não é ponto de mínimo nem de máximo local. Dica: Encontre os zeros de f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a origem
é um ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{3} - 4xy^{2} $. Além disso, precisamos mostrar que esse ponto não é nem um mínimo nem um máximo local. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como determinar se são mínimos, máximos ou pontos de sela. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função acontece quando todas as derivadas parciais da função iguais a zero nesse ponto. No nosso caso, como a função tem duas variáveis, vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos o ponto
.
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Novamente, o ponto
.
Passo 6
Portanto, o único ponto crítico da função é a origem
. Agora, precisamos mostrar que esse ponto não é nem um mínimo nem um máximo local.
Passo 7
Para determinar a natureza do ponto crítico, vamos analisar os valores da função ao redor da origem. Se em algum entorno do ponto a função assumir valores maiores e menores que o valor no ponto crítico, então ele não pode ser um mínimo nem um máximo local, caracterizando um ponto de sela.
Passo 8
Vamos considerar a função
. Vamos analisar os zeros de
, ou seja, os pontos onde
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 9
Vamos escolher caminhos diferentes que se aproximam da origem e ver o comportamento de
:
Caminho 1:
Para
,
; para
,
.
Caminho 2:
Caminho 3:
Passo 10
Observando os resultados:
- No Caminho 1,
assume valores positivos e negativos próximos à origem. - No Caminho 2,
. - No Caminho 3,
também assume valores positivos e negativos dependendo do sinal de .
Isso mostra que, próximo à origem, a função
pode assumir valores positivos e negativos, indicando que a origem não é um ponto de mínimo nem de máximo, mas sim um ponto de sela.
Resposta
A origem
é um ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{3} - 4xy^{2} $, porém não é nem um mínimo nem um máximo local, caracterizando-se como um ponto de sela.