Será que é possível escrever um decimal com um número infinito de algarismos e que não seja uma dizima periódica, seguindo alguma regra para a colocação dos algarismos?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um número decimal com infinitos algarismos que não seja uma dízima periódica, ou seja, que não tenha um bloco de dígitos que se repete indefinidamente. O assunto envolve expansão decimal de números racionais vs. irracionais.

Passo 2

A teoria diz que toda dízima periódica corresponde a um número racional, e todo número racional tem expansão decimal periódica ou termina em zeros repetidos. Logo, para ter um decimal infinito não periódico, basta construir um número irracional ou uma sequência de algarismos sem repetição fixa de bloco.

Passo 3

Uma construção clássica é a constante de Champernowne, definida ao concatenar todos os números naturais em ordem: começamos com 1, depois 2, depois 3, e assim por diante. Isso gera o decimal
0.123456789101112131415…

Passo 4

Para ver que essa expansão não é periódica, note que, se existisse um período fixo p, ao longo da expansão apareceriam sempre os mesmos blocos de tamanho p. Mas na nossa construção cada novo número natural traz um bloco de dígitos nunca antes visto naquela posição, quebrando qualquer repetição fixa.

Passo 5

Portanto, seguindo essa regra bem simples de concatenar os naturais, obtemos um decimal infinito que definitivamente não é uma dízima periódica.

Resposta

Sim. Por exemplo, a constante de Champernowne
0.12345678910111213…
é um decimal infinito definido por uma regra clara que não é dízima periódica.

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