Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função $ h(x, y) = e^{y} \cdot \sin(3x) $. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial Multivariável, onde aprendemos a identificar pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que indicamos por $ \frac{\partial h}{\partial x} $. Lembre-se que quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ x $ é zero, já que $ y $ é constante, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, representada por $ \frac{\partial h}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante. A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $, então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas são iguais a zero:
Passo 5
Vamos analisar a primeira equação:
Sabemos que $ e^{y} $ nunca é igual a zero para qualquer valor real de $ y $, então a única forma de a equação ser zero é se $ \cos(3x) = 0 $.
Passo 6
A segunda equação é:
Novamente, $ e^{y} $ nunca é zero, então precisamos que $ \sin(3x) = 0 $.
Passo 7
Agora, temos que $ \cos(3x) = 0 $ e $ \sin(3x) = 0 $ ao mesmo tempo. Mas isso só é possível quando:
O que acontece quando isso?
Passo 8
Na verdade, não há nenhum valor de $ x $ que satisfaça simultaneamente $ \cos(3x) = 0 $ e $ \sin(3x) = 0 $. Isso ocorre porque, para qualquer ângulo, se o cosseno é zero, o seno não é zero, e vice-versa.
Passo 9
Assim, não há pontos $ (x, y) $ que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Portanto, a função $ h(x, y) = e^{y} \cdot \sin(3x) $ não possui pontos críticos.
Resposta
A função $ h(x, y) = e^{y} \cdot \sin(3x) $ não possui pontos críticos.