Confirme que
é uma função potencial de
em alguma região e determine a região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial
e uma função escalar
. A pergunta é: será que
é uma função potencial de
em alguma região? Função potencial significa que
pode ser escrita como o gradiente de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar do que é o gradiente e como verificar se uma função é potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Vamos calcular cada derivada.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Então, o gradiente de
é:
Comparando isso com a função vetorial dada:
Percebemos que
.
Passo 5
Isso mostra que
é realmente uma função potencial de
. Mas será que isso vale para todo o plano
? Na verdade, precisamos verificar onde a função
é bem definida e diferenciável.
A função
está bem definida em todo o plano, exceto onde
. Porém,
é sempre não negativo, então
. Portanto, não há pontos onde a função não seja definida.
Além disso, as derivadas parciais existem em todo lugar onde a função está definida.
Passo 6
Conclusão:
é uma função potencial para o campo vetorial
em todo o plano
, ou seja, em toda a
.
Resposta
Sim,
é uma função potencial de
em toda a região
.