Confirme que phi é uma função potencial de F(r) em alguma região e determine a região.
l phi(x, y)=arctg x y F(x, y)=y1+x^2 y^2 i+x1+x^2 y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e uma função escalar . A pergunta é: será que é uma função potencial de em alguma região? Função potencial significa que pode ser escrita como o gradiente de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar lembrar do que é o gradiente e como verificar se uma função é potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Vamos calcular cada derivada.

Passo 3

Calculando partialpartial x arctan(xy) = y1 + (xy)^2 = y1 + x^2 y^2 :
partialpartial y arctan(xy) = x1 + (xy)^2 = x1 + x^2 y^2
Agora, calculando :

Passo 4

Então, o gradiente de nabla phi = ( y1 + x^2 y^2, x1 + x^2 y^2 ) é:
F(x, y) = y1 + x^2 y^2 i + x1 + x^2 y^2 j
Comparando isso com a função vetorial dada:
Percebemos que .

Passo 5

Isso mostra que é realmente uma função potencial de . Mas será que isso vale para todo o plano ? Na verdade, precisamos verificar onde a função é bem definida e diferenciável.
A função está bem definida em todo o plano, exceto onde . Porém, é sempre não negativo, então . Portanto, não há pontos onde a função não seja definida.
Além disso, as derivadas parciais existem em todo lugar onde a função está definida.

Passo 6

Conclusão: é uma função potencial para o campo vetorial em todo o plano , ou seja, em toda a .

Resposta

Sim, é uma função potencial de em toda a região .

Exercícios relacionados