Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto dado
e a direcão em que ocorre:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e a direção em que isso ocorre. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente, e vamos precisar calcular
e depois extrair sua norma e o vetor unitário associado.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
. Por definição,
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\right)\
=\bigl(4x,,6y\bigr).$$
Passo 3
Em seguida, avaliamos o gradiente em
:
Passo 4
O valor máximo da derivada direcional em
é a norma do gradiente naquele ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente. Calculamos a norma:
Passo 5
A direção em que ocorre é o vetor unitário de
:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional em
é
, e ocorre na direção do vetor unitário
.