Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e a direcão em que ocorre: z=2 x^2+3 y^2, P=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional de f(x,y)=2x^2+3y^2 no ponto P=(1,-1) e a direção em que isso ocorre. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente, e vamos precisar calcular nabla f e depois extrair sua norma e o vetor unitário associado.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. Por definição,
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\right)\
=\bigl(4x,,6y\bigr).$$

Passo 3

Em seguida, avaliamos o gradiente em P=(1,-1):
nabla f(1,-1)=l(4cdot1,,6cdot(-1)r)=(4,-6)

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional em P é a norma do gradiente naquele ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente. Calculamos a norma:
|nabla f(1,-1)|=raiz4^2+(-6)^2=raiz16+36=raiz52=2raiz13

Passo 5

A direção em que ocorre é o vetor unitário de nabla f(1,-1):
u=1|nabla f(1,-1)|(4,-6)=l(tfrac42raiz13,,tfrac-62raiz13r)=l(tfrac2raiz13,,-tfrac3raiz13r)

Resposta

O valor máximo da derivada direcional em P é 2raiz13, e ocorre na direção do vetor unitário l(tfrac2raiz13, -tfrac3raiz13r).

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