Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 1raiz3 n+4(3 x+4)^n

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty 1raiz3n+4(3x+4)^n. O conteúdo é convergência de séries de potências; vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois checar os extremos com os testes de comparação e de Leibniz.

Passo 2

Seja u=3x+4 e an=1/raiz3n+4. Pelo teste da raiz:

Passo 3

A condição de convergência é rho<1, ou seja |u|<1. Voltando a x:
|3x+4|<1implies -1<3x+4<1implies -5<3x< -3implies -tfrac53

Passo 4

Agora checamos os extremos: em x=-1 temos u=1 e a série fica sum1/raiz3n+4, que diverge pois é comparável a sum1/raizn (p<1). Em x=-5/3 temos u=-1 e a série alterna: sum(-1)^n/raiz3n+4. Os termos 1/raiz3n+4 são positivos, decrescentes e tendem a zero, então converge pelo teste de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é [-tfrac53,,-1).

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