Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de 0.3 cm / h e 0.5 cm / h respectivamente, determine a razão de decrescimento do volume do tanque quando r=6 cm e h=30 cm.

Passo 1

Temos um tanque em forma de cone cujo volume é dado por
V = 13pi r^2 h
O problema envolve taxas relacionadas (related rates) e queremos encontrar dVdt quando r=6,cm e h=30,cm, sabendo que drdt=-0.3,cm/h e dhdt=-0.5,cm/h.

Passo 2

Para aplicar o método de taxas relacionadas, vamos derivar cada lado da expressão de V em relação ao tempo t. Como V depende de r(t) e h(t), usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
dVdt = ddtl(tfrac13pi r^2 hr) = tfrac13pi l(2r h drdt + r^2 dhdtr)

Passo 3

Agora substituímos os valores fornecidos no instante pedido: r=6, h=30, drdt=-0.3 e dhdt=-0.5. Assim,
dVdt = tfrac13pi l(2cdot6cdot30cdot(-0.3) + 6^2cdot(-0.5)r)

Passo 4

Vamos calcular passo a passo o que está dentro do parêntese:
  • Primeiro termo: 2cdot6cdot30cdot(-0.3) = 360cdot(-0.3) = -108
  • Segundo termo: 6^2cdot(-0.5) = 36cdot(-0.5) = -18
    Somando: (-108) + (-18) = -126. Então
dVdt = tfrac13pi cdot(-126) = -42pi

Passo 5

Portanto, a taxa de variação do volume no instante considerado é negativa (o volume está diminuindo) com valor -42pi em unidades de volume por hora.

Resposta

-42pi,cm^3/h

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