Se o raio
e a altura
de um tanque cônico decrescem à razão de
e
respectivamente, determine a razão de decrescimento do volume do tanque quando
e
.
Passo 1
Temos um tanque em forma de cone cujo volume é dado por
O problema envolve taxas relacionadas (related rates) e queremos encontrar
quando
e
, sabendo que
e
.
Passo 2
Para aplicar o método de taxas relacionadas, vamos derivar cada lado da expressão de
em relação ao tempo
. Como
depende de
e
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 3
Agora substituímos os valores fornecidos no instante pedido:
,
,
e
. Assim,
Passo 4
Vamos calcular passo a passo o que está dentro do parêntese:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando: (-108) + (-18) = -126. Então
Passo 5
Portanto, a taxa de variação do volume no instante considerado é negativa (o volume está diminuindo) com valor
em unidades de volume por hora.