Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperatura T=T(x, y) num ponto (x, y) é inversamente proporcional á distância do ponto á origem. Sabendo que a temperatura no ponto P=(3,4) é 100^circ C, determine: A direção em que a taxa de variação é zero.

Passo 1

O exercício diz que a temperatura T(x,y) é inversamente proporcional à distância ao ponto (0,0) e pede a direção em que a taxa de variação de T é zero no ponto P=(3,4). O conteúdo usado será proporcionalidade inversa, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para achar a constante de proporcionalidade, usamos que T(3,4)=100 e que a distância raiz3^2+4^2=5. Assim, k5=100 e logo k=500.

Passo 3

Logo a função é
T(x,y)=500raizx^2+y^2
Para analisar a taxa de variação, usamos que a derivada direcional em u é dada por nabla Tcdot u. Se quisermos que essa taxa seja zero, precisamos de nabla Tcdot u=0.

Passo 4

Vamos então calcular as derivadas parciais. Temos
Tx(x,y)=-500,x(x^2+y^2)^3/2, Ty(x,y)=-500,y(x^2+y^2)^3/2

Passo 5

No ponto P=(3,4), como x^2+y^2=25, obtemos
nabla T(3,4)=l(Tx(3,4),Ty(3,4)r)=(-12,-16)

Passo 6

Para achar a direção em que a variação é zero, escolhemos um vetor v=(v1,v2) ortogonal a nabla T(3,4), ou seja nabla T(3,4)cdot v=0. Isso dá -12v1-16v2=0 ou 3v1+4v2=0. Um vetor que satisfaz isso é v=(4,-3).

Resposta

Um vetor de direção em que a taxa de variação de T é zero em P é (4,-3).

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