Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperatura
num ponto
é inversamente proporcional á distância do ponto á origem. Sabendo que a temperatura no ponto
é
, determine: A direção em que a taxa de variação é zero.
Passo 1
O exercício diz que a temperatura
é inversamente proporcional à distância ao ponto
e pede a direção em que a taxa de variação de
é zero no ponto
. O conteúdo usado será proporcionalidade inversa, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para achar a constante de proporcionalidade, usamos que
e que a distância
. Assim,
e logo
.
Passo 3
Logo a função é
Para analisar a taxa de variação, usamos que a derivada direcional em
Passo 4
Vamos então calcular as derivadas parciais. Temos
Passo 5
No ponto
, como
, obtemos
Passo 6
Para achar a direção em que a variação é zero, escolhemos um vetor
ortogonal a
, ou seja
. Isso dá
ou
. Um vetor que satisfaz isso é
.
Resposta
Um vetor de direção em que a taxa de variação de
é zero em
é
.