Determine os pontos críticos de: w=raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar os pontos críticos da função w = raizx^2 + y^2 + z^2. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e condições para pontos críticos, que ocorrem onde nabla w = 0 ou onde nabla w não está definido.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais aplicando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos o gradiente:
nabla w = (partial wpartial x,,partial wpartial y,,partial wpartial z) = (xraizx^2+y^2+z^2,,yraizx^2+y^2+z^2,,zraizx^2+y^2+z^2)

Passo 3

Para encontrar pontos onde nabla w = 0, igualamos cada componente a zero:
xraizx^2+y^2+z^2 = 0, yraizx^2+y^2+z^2 = 0, zraizx^2+y^2+z^2 = 0

Passo 4

Isso implica x = 0, y = 0 e z = 0. Observamos ainda que o gradiente não está definido quando x^2 + y^2 + z^2 = 0, ou seja, no ponto (0,0,0). Como esse é o único ponto que zera a derivada ou causa indefinição, concluímos que (0,0,0) é o único ponto crítico.

Resposta

(0,0,0)

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