Confirme ser aplicável o teste da integral e use-o para determinar se a série converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
A pergunta é se essa série converge ou não, usando o teste da integral. Vamos precisar entender esse teste e como aplicá-lo pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita
converge verificando se a integral de
de 1 até o infinito converge. Ou seja, calculamos:
Se essa integral for finita (ou seja, convergir), então a série também converge. Se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.
Passo 3
Agora, vamos verificar se podemos aplicar o teste da integral na nossa série. Para isso, a função
precisa ser positiva, contínua e decrescente para
.
Vamos ver:
- Positiva: Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então . - Contínua: A função é contínua para todo
, já que o denominador nunca é zero. - Decrescente: Vamos derivar
para ver se está sempre diminuindo:
Para
,
, então
. Isso mostra que a função é decrescente.
Então, todas as condições estão atendidas e podemos usar o teste da integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Agora, avaliamos os limites de 1 até infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Então, a integral diverge.
Passo 5
Como a integral
diverge, pelo teste da integral, isso significa que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da integral.