Confirme ser aplicável o teste da integral e use-o para determinar se a série converge.
sumk=1^infty k1+k^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumk=1^infty k1 + k^2
A pergunta é se essa série converge ou não, usando o teste da integral. Vamos precisar entender esse teste e como aplicá-lo pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita sumk=1^infty f(k) converge verificando se a integral de f(x) de 1 até o infinito converge. Ou seja, calculamos:
integral1^infty f(x) , dx
Se essa integral for finita (ou seja, convergir), então a série também converge. Se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos aplicar o teste da integral na nossa série. Para isso, a função f(x) = x1 + x^2 precisa ser positiva, contínua e decrescente para x >= 1.
Vamos ver:
  1. Positiva: Para x >= 1, tanto o numerador x quanto o denominador 1 + x^2 são positivos, então f(x) > 0.
  2. Contínua: A função é contínua para todo x >= 1, já que o denominador nunca é zero.
  3. Decrescente: Vamos derivar f(x) para ver se está sempre diminuindo:
f'(x) = (1 + x^2) cdot 1 - x cdot 2x(1 + x^2)^2 = 1 + x^2 - 2x^2(1 + x^2)^2 = 1 - x^2(1 + x^2)^2
Para x >= 1, 1 - x^2 <= 0, então f'(x) <= 0. Isso mostra que a função é decrescente.
Então, todas as condições estão atendidas e podemos usar o teste da integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral de f(x) = x1 + x^2 de 1 até o infinito:
integral1^infty x1 + x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar:
u = 1 + x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C
Agora, avaliamos os limites de 1 até infinito:
limb to infty [ 12 ln(1 + b^2) - 12 ln(1 + 1^2) ] = limb to infty 12 ln(1 + b^2) - 12 ln(2)
À medida que b vai para o infinito, ln(1 + b^2) também vai para o infinito. Então, a integral diverge.

Passo 5

Como a integral
integral1^infty x1 + x^2 , dx
diverge, pelo teste da integral, isso significa que a série
sumk=1^infty k1 + k^2
também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty k1 + k^2 diverge pelo teste da integral.

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