A equação de um Capacitor em um circuito elétrico é dada por
, onde
é a carga no capacitor no tempo
é a corrente elétrica fornecida ao circuito,
é a resistência e
é a capacitância do capacitor. Se a corrente fornecida ao circuito é de 2 mA , a resistência é de
e a capacitância do capacitor é de
, e inicialmente não há carga no capacitor, qual será a carga no capacitor após 5 segundos?
Passo 1
Vamos resolver um problema de circuitos elétricos envolvendo um capacitor. A questão nos dá uma equação diferencial que descreve como a carga no capacitor muda com o tempo. Para resolver, precisamos entender conceitos de corrente, resistência, capacitância e como resolver equações diferenciais simples.
Passo 2
A equação que descreve a carga $ q(t) $ no capacitor é:
Aqui, $ I $ é a corrente fornecida, $ R $ é a resistência, e $ C $ é a capacitância. Vamos substituir os valores fornecidos:
- $ I = 2 , mA = 0,002 , A $
- $ R = 100 , \Omega $
- $ C = 10 , \muF = 10 \times 10^{-6} , F $
Passo 3
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante. A equação está na forma:
Onde $ P(t) = \frac{1}{0,001} = 1000 $ e $ Q(t) = 0,002 $.
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicando toda a equação por $ \mu(t) $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a condição inicial $ q(0) = 0 $:
Então, a solução da equação é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a carga após 5 segundos:
Como $ e^{-5000} $ é praticamente zero, temos:
Resposta
A carga no capacitor após 5 segundos é aproximadamente $ 2 \times 10^{-6} , C $.