A equação de um Capacitor em um circuito elétrico é dada por d qd t=I-qR C, onde q(t) é a carga no capacitor no tempo t, I é a corrente elétrica fornecida ao circuito, R é a resistência e C é a capacitância do capacitor. Se a corrente fornecida ao circuito é de 2 mA , a resistência é de 100 Omega e a capacitância do capacitor é de 10 mu F, e inicialmente não há carga no capacitor, qual será a carga no capacitor após 5 segundos?

Passo 1

Vamos resolver um problema de circuitos elétricos envolvendo um capacitor. A questão nos dá uma equação diferencial que descreve como a carga no capacitor muda com o tempo. Para resolver, precisamos entender conceitos de corrente, resistência, capacitância e como resolver equações diferenciais simples.

Passo 2

A equação que descreve a carga $ q(t) $ no capacitor é:
q(t)
Aqui, $ I $ é a corrente fornecida, $ R $ é a resistência, e $ C $ é a capacitância. Vamos substituir os valores fornecidos:
  • $ I = 2 , mA = 0,002 , A $
  • $ R = 100 , \Omega $
  • $ C = 10 , \muF = 10 \times 10^{-6} , F $

Passo 3

Substituindo os valores na equação:
dqdt = 0,002 - q100 times 10 times 10^-6 = 0,002 - q0,001
Simplificando:
dqdt + q0,001 = 0,002

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante. A equação está na forma:
dqdt + P(t)q = Q(t)
Onde $ P(t) = \frac{1}{0,001} = 1000 $ e $ Q(t) = 0,002 $.
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
P(t) = 10,001 = 1000
Multiplicando toda a equação por $ \mu(t) $:
Q(t) = 0,002
Isso simplifica para:
mu(t)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
e^1000t q = integral 0,002 e^1000t dt + C
e^1000t q = 0,0021000 e^1000t + C
Simplificando:
q = 0,0021000 + C e^-1000t

Passo 6

Aplicando a condição inicial $ q(0) = 0 $:
q(0) = 0
Então, a solução da equação é:
0 = 0,000002 + C e^0 Rightarrow C = -0,000002

Passo 7

Agora, vamos calcular a carga após 5 segundos:
q(5) = 0,000002 ( 1 - e^-1000 times 5 ) = 0,000002 (1 - e^-5000)
Como $ e^{-5000} $ é praticamente zero, temos:
e^-5000

Resposta

A carga no capacitor após 5 segundos é aproximadamente $ 2 \times 10^{-6} , C $.

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