Equação do morto. Usando a equação do resfriamento (1) é possível determinar a hora que alguém morreu. Suponha que uma pessoa foi encontrada às 10 horas da manhá e tinha uma temperatura corporal medida de 30 graus Celsius. Sabendo que ela estava num ambiente controlado a uma temperatura fixa de 25 Graus Celsius. As 11 horas, mediu-se a temperatura novamente do corpo do indivíduo e descobriu-se que a temperatura estava a 29.5 graus celsius. Sabendo a temperatura normal de uma pessoa é 36.5 graus celsius, determine a hora em que a pessoa morreu.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve a Lei do Resfriamento de Newton. Basicamente, a gente precisa descobrir em que hora a pessoa morreu usando a temperatura do corpo encontrada em dois momentos diferentes. Para isso, vamos precisar entender como a temperatura do corpo diminui ao longo do tempo em um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula dessa lei é:
dTdt = -k (T - Ta)
Onde:
  • $ T $ é a temperatura do objeto (no caso, o corpo da pessoa).
  • $ T_a $ é a temperatura ambiente.
  • $ k $ é a constante de proporcionalidade.
  • $ \frac{dT}{dt} $ é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial é dada por:
T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^-kt
Aqui:
  • $ T(t) $ é a temperatura do corpo no tempo $ t $ após a morte.
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do corpo (temperatura normal do corpo humano, que é 36.5°C).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.
  • $ t $ é o tempo decorrido desde a morte até a medição.

Passo 4

Vamos organizar as informações que temos:
  1. A pessoa foi encontrada às 10 horas da manhã com temperatura de 30°C.
  2. Às 11 horas da manhã, a temperatura estava 29.5°C.
  3. A temperatura ambiente $ T_a $ é de 25°C.
  4. A temperatura normal do corpo humano $ T_0 $ é de 36.5°C.

Passo 5

Vamos usar a fórmula para os dois momentos da medição para criar um sistema de equações:
Para as 10 horas ($ t = t_1 $):
t = t1
Para as 11 horas ($ t = t_1 + 1 $):
30 = 25 + (36.5 - 25) e^-k t1

Passo 6

Vamos simplificar as equações:
Primeira equação:
30 - 25 = 11.5 e^-k t1
5 = 11.5 e^-k t1
e^-k t1 = 511.5 approx 0.4348
Segunda equação:
29.5 - 25 = 11.5 e^-k (t1 + 1)
4.5 = 11.5 e^-k t1 e^-k
e^-k (t1 + 1) = 4.511.5 approx 0.3913

Passo 7

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ t_1 $:
t1
Isso simplifica para:
e^-k (t1 + 1)e^-k t1 = 0.39130.4348

Passo 8

Vamos resolver para $ k $:
k
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
e^-k = 0.900
- k = ln(0.900)

Passo 9

Agora que temos $ k $, vamos usar a primeira equação para encontrar $ t_1 $:
k
Aplicando o logaritmo natural:
t1
e^-0.105 t1 = 0.4348

Passo 10

Isso significa que o tempo decorrido desde a morte até as 10 horas da manhã foi de aproximadamente 7.943 horas.
Para encontrar a hora da morte:
10:00 da manhã menos 7.943 horas.
Convertendo 0.943 horas para minutos:
0.943 horas × 60 minutos/hora ≈ 56.58 minutos.
Então, aproximadamente 7 horas e 56 minutos antes das 10:00.

Resposta

A pessoa morreu por volta das 2:04 da manhã.

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