Equação do morto. Usando a equação do resfriamento (1) é possível determinar a hora que alguém morreu. Suponha que uma pessoa foi encontrada às 10 horas da manhá e tinha uma temperatura corporal medida de 30 graus Celsius. Sabendo que ela estava num ambiente controlado a uma temperatura fixa de 25 Graus Celsius. As 11 horas, mediu-se a temperatura novamente do corpo do indivíduo e descobriu-se que a temperatura estava a 29.5 graus celsius. Sabendo a temperatura normal de uma pessoa é 36.5 graus celsius, determine a hora em que a pessoa morreu.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve a Lei do Resfriamento de Newton. Basicamente, a gente precisa descobrir em que hora a pessoa morreu usando a temperatura do corpo encontrada em dois momentos diferentes. Para isso, vamos precisar entender como a temperatura do corpo diminui ao longo do tempo em um ambiente com temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula dessa lei é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura do objeto (no caso, o corpo da pessoa).
- $ T_a $ é a temperatura ambiente.
- $ k $ é a constante de proporcionalidade.
- $ \frac{dT}{dt} $ é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial é dada por:
Aqui:
- $ T(t) $ é a temperatura do corpo no tempo $ t $ após a morte.
- $ T_0 $ é a temperatura inicial do corpo (temperatura normal do corpo humano, que é 36.5°C).
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
- $ t $ é o tempo decorrido desde a morte até a medição.
Passo 4
Vamos organizar as informações que temos:
- A pessoa foi encontrada às 10 horas da manhã com temperatura de 30°C.
- Às 11 horas da manhã, a temperatura estava 29.5°C.
- A temperatura ambiente $ T_a $ é de 25°C.
- A temperatura normal do corpo humano $ T_0 $ é de 36.5°C.
Passo 5
Vamos usar a fórmula para os dois momentos da medição para criar um sistema de equações:
Para as 10 horas ($ t = t_1 $):
Para as 11 horas ($ t = t_1 + 1 $):
Passo 6
Vamos simplificar as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 7
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ t_1 $:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver para $ k $:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 9
Agora que temos $ k $, vamos usar a primeira equação para encontrar $ t_1 $:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 10
Isso significa que o tempo decorrido desde a morte até as 10 horas da manhã foi de aproximadamente 7.943 horas.
Para encontrar a hora da morte:
10:00 da manhã menos 7.943 horas.
Convertendo 0.943 horas para minutos:
0.943 horas × 60 minutos/hora ≈ 56.58 minutos.
Então, aproximadamente 7 horas e 56 minutos antes das 10:00.
Resposta
A pessoa morreu por volta das 2:04 da manhã.