Crescimento de um investimento financeiro é dado pela equação d Ad t=r A, onde A(t) é o valor do investimento no tempo t e r é a taxa de retorno. Se você investiu 1000 reais na poupança com uma taxa de juros anual de 5 %, quanto você terá após 10 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você investiu 1000 reais na poupança com uma taxa de juros anual de 5%. Quer saber quanto esse dinheiro vai valer depois de 10 anos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática financeira que envolve crescimento exponencial. Precisamos entender a fórmula do crescimento do investimento e aplicar os valores que você nos deu.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que descreve o crescimento do investimento:
dAdt = r A
Aqui, $ A(t) $ é o valor do investimento no tempo $ t $, e $ r $ é a taxa de retorno anual. Essa equação nos diz que a taxa de variação do dinheiro investido é proporcional ao próprio valor do investimento.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar a função $ A(t) $ que nos dá o valor do investimento após um certo tempo. Essa é uma equação diferencial que descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
A(t)
Onde:
  • $ A_0 $ é o valor inicial investido.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
  • $ r $ é a taxa de retorno.
  • $ t $ é o tempo em anos.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Você investiu 1000 reais, então $ A_0 = 1000 $. A taxa de juros é 5% ao ano, ou seja, $ r = 0,05 $. E o tempo é 10 anos, então $ t = 10 $.
Substituindo na fórmula:
A0 = 1000

Passo 5

Agora, vamos calcular o expoente:
0,05 times 10 = 0,5
Então, a fórmula fica:
A(10) = 1000 cdot e^0,5

Passo 6

Calculando $ e^{0,5} $:
e^0,5
Então:
e^0,5 approx 1,64872

Passo 7

Multiplicando os valores:
A(10) = 1648,72

Resposta

Após 10 anos, você terá aproximadamente R$ 1.648,72 na sua poupança.

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