Crescimento de um investimento financeiro é dado pela equação
, onde
é o valor do investimento no tempo
e
é a taxa de retorno. Se você investiu 1000 reais na poupança com uma taxa de juros anual de
, quanto você terá após 10 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você investiu 1000 reais na poupança com uma taxa de juros anual de 5%. Quer saber quanto esse dinheiro vai valer depois de 10 anos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática financeira que envolve crescimento exponencial. Precisamos entender a fórmula do crescimento do investimento e aplicar os valores que você nos deu.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que descreve o crescimento do investimento:
Aqui, $ A(t) $ é o valor do investimento no tempo $ t $, e $ r $ é a taxa de retorno anual. Essa equação nos diz que a taxa de variação do dinheiro investido é proporcional ao próprio valor do investimento.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a função $ A(t) $ que nos dá o valor do investimento após um certo tempo. Essa é uma equação diferencial que descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Onde:
- $ A_0 $ é o valor inicial investido.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
- $ r $ é a taxa de retorno.
- $ t $ é o tempo em anos.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Você investiu 1000 reais, então $ A_0 = 1000 $. A taxa de juros é 5% ao ano, ou seja, $ r = 0,05 $. E o tempo é 10 anos, então $ t = 10 $.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular o expoente:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Calculando $ e^{0,5} $:
Então:
Passo 7
Multiplicando os valores:
Resposta
Após 10 anos, você terá aproximadamente R$ 1.648,72 na sua poupança.