Conforme a metodologia sugerida em sala de aula resolver e analisar as questões:
Uma sala de um ambiente cujas dimensões são de 6,5(\mathrm{~m}) \times 7,5(\mathrm{~m}) \times 3,2(\mathrm{~m}), contém ar nas seguintes condições: 32,5\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right), 100,325(\mathrm{kPa}) e a uma umidade relativa de 88,5(\%). Determinar o que se pede e comentar os resultados: (Pontuação 20 \% da questão).
(a) A pressão de vapor e a pressão parcial do ar seco;
(b) A umidade absoluta, a umidade específica e o grau de saturação;
(c) A entalpia específica, o volume específico e a temperatura de orvalho;
(d) As massas de ar seco e de vapor d’água na sala e;
(e) A potência de uma serpentina de resfriamento para uma temperatura final de 22\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, com todos os dados numéricos que vou usar (peguei todos os números do enunciado).
  • Dimensões da sala:
    • L=6{,}5\\ \mathrm{m}, W=7{,}5\\ \mathrm{m}, H=3{,}2\\ \mathrm{m}.
    • Volume da sala: V = L\cdot W\cdot H.
  • Condições do ar na sala:
    • Temperatura: T_1 = 32{,}5\,^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão total: P = 100{,}325\\ \mathrm{kPa}.
    • Umidade relativa: \varphi = 88{,}5\% = 0{,}885.
  • O que pedem:
    (a) a pressão de vapor (parcial do vapor d’água) e a pressão parcial do ar seco;
    (b) a umidade absoluta, a umidade específica e o grau de saturação;
    (c) a entalpia específica (por kg de ar seco), o volume específico (por kg de ar seco) e a temperatura de orvalho;
    (d) as massas de ar seco e de vapor d’água na sala;
    (e) a potência (carga de refrigeração) de uma serpentina para levar o ar da sala até 22{,}0\,^\circ\mathrm{C} (comentarei hipótese usada).
Constantes e convenções que vou usar (vou explicar cada fórmula quando aparecer):
  • Constante dos gases: R_d = 0{,}287042\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)} (ar seco), R_v = 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)} (vapor d’água).
  • Calores específicos aproximados (usados em HVAC):
    • c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ar seco),
    • c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (vapor d’água).
  • Calor latente aproximado da vaporização à temperatura ambiente:
    • h_{fg}\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para pressão de saturação de vapor em função da temperatura T (entre 0 e 50 °C) uso a fórmula de Magnus-Tetens: p_{sat}(T)=0{,}61094\exp\!\left(\frac{17{,}625\,T}{T+243{,}04}\right)\quad(\mathrm{kPa}),\quad T\\ \text{em }^\circ\mathrm{C}.
  • Volume da sala (já citado): calcularei no Passo 2.
Vou começar os cálculos a partir destes itens.

Passo 2

Calcular o volume da sala e converter temperaturas para Kelvin (usar nas fórmulas de gás ideal).
  • Volume: V = 6{,}5\cdot7{,}5\cdot3{,}2 = 156{,}0\\ \mathrm{m^3}.
  • Temperatura em Kelvin: T_1 = 32{,}5\,^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_{1K}=32{,}5+273{,}15=305{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 3

(a) Calcular a pressão de saturação p_{sat}(T_1), a pressão parcial do vapor p_v e a pressão parcial do ar seco p_d.
Explicação rápida: a umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial real do vapor p_v e a pressão de saturação p_{sat}(T):
\varphi=\frac{p_v}{p_{sat}(T)}\quad\Rightarrow\quad p_v=\varphi\,p_{sat}(T).
A pressão do ar seco é a diferença entre a pressão total e a pressão do vapor:
p_d=P-p_v.
Cálculo de p_{sat} em 32{,}5\,^\circ\mathrm{C} usando Magnus:
p_{sat}(32{,}5)=0{,}61094\exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot32{,}5}{32{,}5+243{,}04}\right)\\ \mathrm{kPa}.
Avaliação numérica (passos intermediários): o expoente é aproximadamente 2{,}079, logo
p_{sat}(32{,}5)\approx 4{,}8875\\ \mathrm{kPa}.
Agora a pressão parcial do vapor:
p_v=\varphi\,p_{sat}=0{,}885\cdot4{,}8875\approx4{,}3254\\ \mathrm{kPa}.
E a pressão parcial do ar seco:
p_d = P - p_v = 100{,}325 - 4{,}3254 \approx 95{,}9996\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

(b) Calcular umidade absoluta (densidade do vapor), umidade específica (razão massa vapor / massa ar seco) e grau de saturação.
Definições e fórmulas:
  • Umidade absoluta (densidade do vapor) \rho_v (kg de vapor por m^3 de ar total) pela equação dos gases ideais para o vapor:
\rho_v = \frac{p_v}{R_v\,T_{1K}}.
  • Umidade específica (mixing ratio), que aqui usarei como \;w=\dfrac{m_{v}}{m_{da}} (kg de vapor por kg de ar seco). Fórmula padrão:
w = 0{,}622\,\frac{p_v}{p_d} = 0{,}622\,\frac{p_v}{P-p_v}.
O fator 0{,}622 é a razão das massas molares (M_v/M_a\approx 18{,}016/28{,}966).
  • Grau de saturação S (razão entre a umidade específica atual w e a umidade específica de saturação w_s à mesma pressão total e temperatura):
w_s = 0{,}622\,\frac{p_{sat}(T)}{P-p_{sat}(T)},\qquad S=\frac{w}{w_s}.
Obs.: S é diferente da umidade relativa \varphi; S mede quantos kg de vapor há em relação ao máximo em massa por kg ar seco.
Cálculos numéricos:
  • Densidade do vapor:
\rho_v=\frac{p_v}{R_v T_{1K}}=\frac{4{,}3254}{0{,}4615\cdot305{,}65}\approx0{,}03065\\ \mathrm{kg/m^3}.
(ou 30{,}65\\ \mathrm{g/m^3}.)
  • Umidade específica w:
w = 0{,}622\frac{4{,}3254}{95{,}9996}\approx0{,}02802\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
  • Umidade de saturação w_s e grau de saturação S:
w_s = 0{,}622\frac{4{,}8875}{95{,}4375}\approx0{,}03183, \qquad S=\frac{0{,}02802}{0{,}03183}\approx0{,}8799\\ (\text{ou }87{,}99\%).
Interpretação curta (didática): a umidade absoluta nos diz quantos gramas de vapor há por metro cúbico; a umidade específica nos diz quantos quilos de vapor existem por quilo de ar seco (útil em balanços de energia); o grau de saturação mostra que em massa o ar está em cerca de 88\% do que seria o máximo (isto é consistente com a umidade relativa alta de 88{,}5\%).

Passo 5

(c) Calcular entalpia específica, volume específico e temperatura de orvalho (dew point). Vou explicar as fórmulas e por que as uso.
Entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco:
  • Fórmula prática amplamente usada (com T em °C e resultado em kJ/kg ar seco):
h = c_{pa}\,T + w\bigl(h_{fg} + c_{pv}\,T\bigr).
Aqui:
  • c_{pa}\,T é a energia sensível do ar seco (kJ/kg ar seco),
  • w(h_{fg}+c_{pv}T) é a contribuição do vapor d’água (latente + sensível do vapor),
  • h_{fg} em kJ/kg (aproximado por 2501 kJ/kg a temperaturas ambientes).
Cálculo numérico com T=32{,}5\,^\circ\mathrm{C} e w=0{,}02802:
h = 1{,}005\cdot32{,}5 + 0{,}02802\bigl(2501 + 1{,}86\cdot32{,}5\bigr).
Avaliação:
h \approx 32{,}6625 + 0{,}02802\cdot2561{,}45 \approx 32{,}6625 + 71{,}77 \approx 104{,}43\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}.
Volume específico (volume por kg de ar seco), definição e fórmula:
  • A partir da equação de estado do ar úmido (mistura de gases ideais), para 1 kg de ar seco:
v = \frac{(R_d + w\,R_v)\,T_{1K}}{P}\quad(\mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}).
(deriva de pV=(m_d R_d+m_v R_v)T, dividindo por m_d). Frequentemente escrita como v=\dfrac{R_d T}{P}\bigl(1+1{,}6078\,w\bigr) onde 1{,}6078=R_v/R_d.
Cálculo:
v = \frac{(0{,}287042 + 0{,}02802\cdot0{,}4615)\,305{,}65}{100{,}325}\approx0{,}9140\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}.
Temperatura de orvalho T_{dew}:
  • Definição: temperatura à qual é preciso resfriar o ar (à mesma pressão total) para que o vapor comece a condensar; é a temperatura cuja pressão de saturação é igual à pressão parcial do vapor atual p_v.
  • Uso da inversa da fórmula de Magnus:
T_{dew}=\frac{243{,}04\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}{17{,}625-\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}\quad({}^\circ\mathrm{C}).
Cálculo com p_v=4{,}3254\\ \mathrm{kPa}:
T_{dew}\approx 30{,}36\,^\circ\mathrm{C}.
Interpretação didática rápida: o ponto de orvalho está bem próximo de 32{,}5\,^\circ\mathrm{C} 30{,}36\,^\circ\mathrm{C}), o que confirma que o ar está bastante úmido — ao resfriar um pouco (para cerca de 30{,}4^\circ\mathrm{C}) já apareceria condensado.

Passo 6

(d) Calcular as massas de ar seco e de vapor d’água na sala.
Explicação: para um volume fixo V, massa do vapor é densidade do vapor vezes V. A massa do ar seco é dada pela equação dos gases para a componente do ar seco:
m_{da} = \frac{p_d\,V}{R_d\,T_{1K}}.
Cálculos:
  • Massa de vapor:
m_v = \rho_v\,V = 0{,}03065\cdot156 \approx 4{,}78\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de ar seco:
m_{da}=\frac{p_d\,V}{R_d\,T_{1K}}=\frac{95{,}9996\cdot156}{0{,}287042\cdot305{,}65}\approx170{,}69\\ \mathrm{kg}.
Verificação rápida: a razão m_v/m_{da} deve ser w. De fato 4{,}78/170{,}69\approx0{,}0280, que bate com w calculado antes.

Passo 7

(e) Potência de uma serpentina de resfriamento para levar o ar da sala até 22{,}0\,^\circ\mathrm{C}. Primeiro explico a hipótese usada, depois faço o balanço energético e a decomposição sensível/latente.
Hipótese (importante e usual em exercícios de psicrometria):
  • Assume-se que o ar na sala é resfriado até a temperatura final T_2=22{,}0\,^\circ\mathrm{C} e que esse processo pode provocar condensação até que a mistura final tenha temperatura 22{,}0\,^\circ\mathrm{C} e umidade específica igual à umidade de saturação àquela temperatura (ar deixado na sala, próximo a uma serpentina úmida, normalmente sai saturado nessa temperatura). Em termos práticos: a mistura final é tomada com T_2=22{,}0\,^\circ\mathrm{C} e w_2=w_s(T_2).
  • Mantém-se a pressão total P constante (condição atmosférica), e assumimos que a massa de ar seco no ambiente permanece essencialmente a mesma (resfriamento local não altera imediatamente a massa de ar seco na sala). Essa é a hipótese padrão de muitos problemas: massa de ar seco fixa, e o vapor que excede a saturação condensa.
Procedimento:
  1. Calcular w_{s2}=w_s(T_2) (umidade de saturação a 22{,}0^\circ\mathrm{C}).
  2. Calcular entalpia específica inicial h_1 (já feito) e entalpia específica final h_2 usando T_2 e w_{s2}.
  3. Energia total removida (Q) = m_{da}\,(h_1-h_2) (kJ). Essa energia inclui a parte sensível (redução de temperatura) e a parte latente (condensação).
  4. Potência: se transformar essa energia em potência, é preciso um tempo de referência. Um resultado comum é dar a potência correspondente a se a troca ocorresse em 1 hora (ou então indicar energia total e a potência para um tempo pedido). Vou fornecer a energia total e a potência equivalente para 1 hora (e comentar como mudar para outro tempo).
Cálculos passo a passo:
  • Primeiro, saturação a 22{,}0\,^\circ\mathrm{C}: calcular p_{sat}(22):
p_{sat}(22)\approx 0{,}61094\exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot22}{22+243{,}04}\right)\approx2{,}638\\ \mathrm{kPa}.
  • Umidade específica de saturação a 22 °C:
w_{s2}=0{,}622\frac{p_{sat}(22)}{P-p_{sat}(22)}=0{,}622\frac{2{,}638}{100{,}325-2{,}638}\approx0{,}01680\\ \mathrm{kg/kg_{ar\\ seco}}.
  • Entalpia específica final h_2 (usando T_2=22{,}0^\circ\mathrm{C} e w_{s2}):
h_2 = 1{,}005\cdot22 + w_{s2}\bigl(2501 + 1{,}86\cdot22\bigr).
Avaliação:
h_2 \approx 22{,}11 + 0{,}01680\cdot2541{,}92\approx 22{,}11 + 42{,}72 \approx 64{,}83\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}.
  • Entalpia inicial h_1 já calculada: h_1 \approx 104{,}43\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}.
  • Diferença de entalpia por kg de ar seco:
\Delta h = h_1-h_2 \approx 104{,}43-64{,}83 = 39{,}60\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}.
  • Energia total a ser removida da massa de ar seco presente:
Q = m_{da}\,\Delta h \approx 170{,}69\cdot39{,}60 \approx 6{,}760\\ \mathrm{kJ}.
(Isto é a carga total necessária para levar todo o ar da sala do estado inicial ao estado final assumido.)
  • Quanto da energia é latente (condensação)?
    • Massa de vapor inicial m_{v1}\approx4{,}78\\ \mathrm{kg}.
    • Massa de vapor final m_{v2} = w_{s2}\,m_{da} \approx 0{,}01680\cdot170{,}69 \approx 2{,}87\\ \mathrm{kg}.
    • Massa condensada m_{cond}=m_{v1}-m_{v2}\approx4{,}78-2{,}87\approx1{,}91\\ \mathrm{kg}.
    • Calor latente removido: Q_{lat}=m_{cond}\,h_{fg}\approx1{,}91\cdot2501\approx4{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}.
  • Energia sensível (diferença sensível = total - latente):
Q_{sens} = Q - Q_{lat} \approx 6{,}760 - 4{,}783 \approx 1{,}977\\ \mathrm{kJ}.
(Verificação: Q_{sens} corresponde ao resfriamento do ar e do vapor que não condensou.)
  • Potência equivalente: se todo esse resfriamento ocorrer em 1 hora (hipótese comum para converter energia em potência):
\dot{Q} = \frac{Q}{3600\\ \mathrm{s}} \approx \frac{6{,}760\\ \mathrm{kJ}}{3600\\ \mathrm{s}} \approx 1{,}88\\ \mathrm{kW}.
Comentário: isto significa que uma serpentina com capacidade de refrigeração contínua de cerca de 1{,}9\\ \mathrm{kW} faria, em uma hora, a remoção dessa quantidade de energia (se não houver ganhos adicionais). Se desejar esfriar mais rápido, a potência necessária aumenta proporcionalmente (por exemplo, em 10 minutos a potência média necessária seria \approx 11{,}3\\ \mathrm{kW}).

Passo 8

Interpretações e comentários finais (resumo e verificação da consistência):
  • A pressão parcial do vapor p_v\approx4{,}33\\ \mathrm{kPa} e o ponto de orvalho T_{dew}\approx30{,}36\,^\circ\mathrm{C} mostram que o ar está muito úmido — basta baixar a temperatura em cerca de 2{,}1\,^\circ\mathrm{C} para começar a condensação.
  • A massa de vapor na sala é \sim 4{,}78\\ \mathrm{kg}. Ao resfriar até 22{,}0\,^\circ\mathrm{C} haverá condensação de cerca de 1{,}91\\ \mathrm{kg} de água (um volume de ~1,91 L), que é um valor apreciável e confirma por que ambientes tão quentes e úmidos “pingam” quando resfriados.
  • A carga total de refrigeração calculada ( \sim6{,}76\\ \mathrm{MJ}) é moderada; transformada em potência para 1 hora dá \sim1{,}88\\ \mathrm{kW}. Em instalações reais é preciso somar ganhos por infiltração, radiação solar, equipamentos, pessoas etc., então o valor prático do equipamento será maior.
  • Observação importante sobre hipóteses: adotei massa de ar seco constante e pressão total constante (hipótese padrão). Em um recinto perfeitamente rígido e vedado não é trivial chegar à mesma conclusão sem permitir trocas de massa com o exterior; em prática, salas trocam ar com o ambiente e a pressão fica praticamente atmosférica, então o procedimento aplicado é o usado em engenharia de HVAC.

Resposta

(a) p_{sat}(32{,}5^\circ\mathrm{C})\approx4{,}8875\\ \mathrm{kPa};\quad p_v\approx4{,}3254\\ \mathrm{kPa};\quad p_d\approx95{,}9996\\ \mathrm{kPa}.\n
(b) Umidade absoluta \rho_v\approx0{,}03065\\ \mathrm{kg/m^3};\quad umidade específica w\approx0{,}02802\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}};\quad grau de saturação S\approx0{,}8799 (87,99%).\n
(c) Entalpia específica h\approx104{,}43\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}};\quad volume específico v\approx0{,}9140\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}};\quad temperatura de orvalho T_{dew}\approx30{,}36\,^\circ\mathrm{C}.\n
(d) Massa de ar seco m_{da}\approx170{,}69\\ \mathrm{kg};\quad massa de vapor m_v\approx4{,}78\\ \mathrm{kg}.\n
(e) Energia total removida Q\approx6{,}760\\ \mathrm{kJ} (para esfriar toda a massa de ar até 22{,}0^\circ\mathrm{C}, assumindo w_{final}=w_s(22^\circ\mathrm{C}));\quad massa condensada \approx1{,}91\\ \mathrm{kg};\quad Q_{lat}\approx4{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}, Q_{sens}\approx1{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{kJ};\quad potência equivalente (se ocorrer em 1 hora) \dot{Q}\approx1{,}88\\ \mathrm{kW}.

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