Conforme a metodologia sugerida em sala de aula resolver e analisar as questões:
Dois recipientes contêm cada um, dois metros cúbicos de volume. Em um recipiente a umidade relativa é de 60 (%) e a temperatura é de 20\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right), no outro a umidade relativa é de 90(\%) e a temperatura é de 10\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right). A pressão atmosférica do local é de 100(\mathrm{kPa}). Determinar qual recipiente contém mais massa de vapor de água e comentar os resultados?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede para determinar qual recipiente contém mais massa de vapor de água e comentar o resultado.
  • Volume do primeiro recipiente: V_1=2\\ \mathrm{m^3}.
  • Umidade relativa do primeiro recipiente: \mathrm{RH}_1=60\%.
  • Temperatura do primeiro recipiente: T_1=20\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Volume do segundo recipiente: V_2=2\\ \mathrm{m^3}.
  • Umidade relativa do segundo recipiente: \mathrm{RH}_2=90\%.
  • Temperatura do segundo recipiente: T_2=10\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica local: P_{\text{atm}}=100\\ \mathrm{kPa}.
O que se pede:
  1. Determinar qual recipiente tem mais massa de vapor de água (calcular as massas de vapor em cada recipiente).
  2. Comentar o resultado (explicar por que um tem mais massa apesar da umidade relativa).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado devagarinho). A umidade relativa ( \mathrm{RH}) é a razão entre a pressão parcial do vapor d’água presente no ar e a pressão de saturação do vapor d’água àquela temperatura:
\mathrm{RH} = 100\%\cdot\frac{p_v}{e_s(T)}.
Aqui:
  • p_v é a pressão parcial do vapor d’água (em Pa ou kPa).
  • e_s(T) é a pressão de vapor de saturação à temperatura T (ou seja, a pressão máxima de vapor que o ar pode conter a T antes de começar a condensar).
Dessa relação podemos obter a pressão parcial do vapor:
p_v = \frac{\mathrm{RH}}{100\%}\,e_s(T).
Observação prática: e_s(T) cresce muito com a temperatura — ar mais quente pode “suportar” muito mais vapor antes de saturar. Para valores numéricos usamos uma tabela padrão de pressão de saturação (ou a fórmula de Magnus). Dos valores tabelados (valores padronizados):
e_s(20\\ ^\circ\mathrm{C}) = 2{,}338\\ \mathrm{kPa} = 2338\\ \mathrm{Pa}, \qquad e_s(10\\ ^\circ\mathrm{C}) = 1{,}228\\ \mathrm{kPa} = 1228\\ \mathrm{Pa}.
(Estes valores foram obtidos da tabela padrão de pressão de saturação do vapor d’água.)

Passo 3

Calcular as pressões parciais do vapor em cada recipiente usando p_v = (\mathrm{RH}/100)\,e_s(T).
Para o recipiente 1 ( 20\\ ^\circ\mathrm{C}, 60\%):
p_{v1} = 0{,}60\cdot e_s(20^\circ\mathrm{C}) = 0{,}60\cdot 2{,}338\\ \mathrm{kPa} = 1{,}4028\\ \mathrm{kPa} = 1402{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Para o recipiente 2 ( 10\\ ^\circ\mathrm{C}, 90\%):
p_{v2} = 0{,}90\cdot e_s(10^\circ\mathrm{C}) = 0{,}90\cdot 1{,}228\\ \mathrm{kPa} = 1{,}1052\\ \mathrm{kPa} = 1105{,}2\\ \mathrm{Pa}.
Observe que p_{v1}=1402{,}8\\ \mathrm{Pa} > p_{v2}=1105{,}2\\ \mathrm{Pa}. Isso já indica, qualitativamente, que o recipiente mais quente pode conter mais vapor absoluto mesmo com RH menor.

Passo 4

Passo matemático para ir da pressão parcial do vapor à massa de vapor. Usamos a equação dos gases ideais para o vapor d’água (tratando-o como gás ideal):
p_v V = m R_v T,
onde:
  • p_v é a pressão parcial do vapor (Pa),
  • V é o volume ocupado (m^3),
  • m é a massa de vapor (kg), que queremos calcular,
  • R_v é a constante dos gases para o vapor d’água: R_v = 461{,}5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K), com T = T_\mathrm{Celsius}+273{,}15.
Rearranjando para m:
m = \frac{p_v V}{R_v T}.

Passo 5

Calcular a massa de vapor no recipiente 1 substituindo números. Primeiro convertemos a temperatura:
T_1 = 20{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} = 20{,}0 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora substituímos:
m_1 = \frac{p_{v1}\,V_1}{R_v\,T_1} = \frac{1402{,}8\\ \mathrm{Pa}\times 2{,}0\\ \mathrm{m^3}}{461{,}5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\times 293{,}15\\ \mathrm{K}}.
Fazendo as contas (mostrando etapas):
\text{numerador} = 1402{,}8\times 2 = 2805{,}6\\ \mathrm{Pa\cdot m^3} = 2805{,}6\\ \mathrm{J},
\text{denominador} = 461{,}5\times 293{,}15 \approx 135288{,}7\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Portanto
m_1 \approx \frac{2805{,}6}{135288{,}7}\\ \mathrm{kg} \approx 0{,}02074\\ \mathrm{kg} = 20{,}74\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular a massa de vapor no recipiente 2. Temperatura:
T_2 = 10{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} = 10{,}0 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K}.
Substituindo:
m_2 = \frac{p_{v2}\,V_2}{R_v\,T_2} = \frac{1105{,}2\\ \mathrm{Pa}\times 2{,}0\\ \mathrm{m^3}}{461{,}5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\times 283{,}15\\ \mathrm{K}}.
Etapas numéricas:
\text{numerador} = 1105{,}2\times 2 = 2210{,}4\\ \mathrm{J},
\text{denominador} = 461{,}5\times 283{,}15 \approx 130673{,}7\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Logo
m_2 \approx \frac{2210{,}4}{130673{,}7}\\ \mathrm{kg} \approx 0{,}01691\\ \mathrm{kg} = 16{,}91\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Comparação e interpretação física (comentário didático e motivador). Encontramos:
m_1 \approx 0{,}0207\\ \mathrm{kg}\quad(20{,}7\\ \mathrm{g}), \qquad m_2 \approx 0{,}0169\\ \mathrm{kg}\quad(16{,}9\\ \mathrm{g}).
Portanto o recipiente com 20\\ ^\circ\mathrm{C} e \mathrm{RH}=60\% contém mais massa de vapor do que o recipiente com 10\\ ^\circ\mathrm{C} e \mathrm{RH}=90\%.
Explicação intuitiva e útil para prova: a umidade relativa é uma medida relativa à capacidade máxima do ar em determinada temperatura; ar mais quente tem capacidade máxima muito maior (ou seja, e_s(T) maior). Mesmo com RH menor, o ar a 20\\ ^\circ\mathrm{C} possui maior pressão parcial de vapor ( p_{v1}>p_{v2}) e, por isso, maior massa de vapor absoluta. Em linguagem simples: 60% de uma caixa grande é mais do que 90% de uma caixa menor — aqui “capacidade” aumenta com a temperatura.
Dica rápida para prova: memorize (ou tenha tabela) de e_s(T) para temperaturas comuns (0, 10, 20 °C) e use m = p_v V/(R_v T) com R_v\approx 461{,}5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. Você resolve essa questão sem muita dor de cabeça.

Resposta

O recipiente a 20\\ ^\circ\mathrm{C} e 60\% contém mais massa de vapor: m_1\approx 0{,}02074\\ \mathrm{kg} (≈ 20{,}7\\ \mathrm{g}).
O recipiente a 10\\ ^\circ\mathrm{C} e 90\% tem m_2\approx 0{,}01691\\ \mathrm{kg} (≈ 16{,}9\\ \mathrm{g}).

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