Conhecendo que
f(x)=x(x+2)^3, f^prime(x)=(x+2)^2(4 x+2) e f^prime prime(x)=12(x+1)(x+2)
pede-se que determine:
intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão (caso existam):

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x(x+2)^3, f'(x)=(x+2)^2(4x+2), f''(x)=12(x+1)(x+2)
e pede para determinar os intervalos de concavidade (para cima e para baixo) e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar que onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima, onde f''(x)<0 é côncava para baixo, e pontos onde f''(x)=0 e troca de sinal são pontos de inflexão.

Passo 2

Encontrar onde f''(x)=0.
f''(x)=12(x+1)(x+2)=0
Logo
x+1=0 Rightarrow x=-1, x+2=0 Rightarrow x=-2

Passo 3

Analisar o sinal de f''(x)=12(x+1)(x+2) nos intervalos determinados pelas raízes -2 e -1.
Escolhendo pontos de teste:
  • Em x=-3: (x+1)(x+2)=(-2)(-1)>0 Rightarrow f''(-3)>0.
  • Em x=-1,5: (x+1)(x+2)=(-0,5)(0,5)<0 Rightarrow f''(-1,5)<0.
  • Em x=0: (x+1)(x+2)=(1)(2)>0 Rightarrow f''(0)>0.
Portanto:
côncava para cima em (-infty,-2)cup(-1,infty), ô
côncava para baixo em (-2,-1) ô

Passo 4

Os pontos de inflexão ocorrem em x=-2 e x=-1 porque aí f'' muda de sinal. Calculando a ordenada em cada ponto:
f(-2)=-2cdot0^3=0, f(-1)=-1cdot1^3=-1
Logo os pontos de inflexão são (-2,0) e (-1,-1).

Resposta

intervalos de concavidade para cima: (-infty,-2)cup(-1,infty)
intervalo de concavidade para baixo: (-2,-1)
pontos de inflexão: (-2,0) e (-1,-1)

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