Conhecendo que
f(x)=x(x+2)^3, f^prime(x)=(x+2)^2(4 x+2) e f^prime prime(x)=12(x+1)(x+2)
pede-se que determine:
os intervalos de crescimento/decrescimento e máximos/mínimos locais (caso existam);

Passo 1

O enunciado fornece
f(x)=x(x+2)^3,
f'(x)=(x+2)^2(4x+2) e
f''(x)=12(x+1)(x+2).
Precisamos usar f'(x) para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e, em seguida, classificar os extremos locais.

Passo 2

Determinamos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0
ou seja
(x+2)^2(4x+2)=0
Dessa equação obtemos
x=-2(mu<iplicidade 2),
x=-tfrac12(mu<iplicidade 1)

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Para x< -tfrac12: o fator (x+2)^2 é sempre positivo e 4x+2<0, logo f'(x)<0.
  2. Para x> -tfrac12: (x+2)^2>0 e 4x+2>0, logo f'(x)>0.
    Em particular, em torno de x=-2 não há troca de sinal: f' permanece negativo antes e depois de -2.

Passo 4

Da análise de sinal concluímos:
  • f é decrescente em (-infty,-tfrac12).
  • f é crescente em (-tfrac12,infty).
Em x=-tfrac12 o sinal de f' muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.
Calculando
fl(-tfrac12r) = -tfrac12l(-tfrac12+2r)^3 = -tfrac12l(tfrac32r)^3 = -tfrac2716
Em x=-2 não ocorre troca de sinal de f', portanto não há extremo local ali.

Resposta

Intervalos de monotonicidade:
– decrescente em (-infty,-tfrac12),
– crescente em (-tfrac12,infty).
Extremos locais:
– mínimo em l(-tfrac12,,-tfrac2716r),
– não há máximo local.

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