Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real. (Dica: Usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar a existência e o Teorema do Valor Médio para mostrar a unicidade).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real. Vamos definir a função
Note que
é contínua e diferenciável em
. Usaremos o Teorema do Valor Intermediário para garantir ao menos uma raiz real e o Teorema de Rolle (caso especial do Teorema do Valor Médio) para mostrar que não pode haver duas raízes distintas.
Passo 2
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, calculamos
e
Como
é contínua em
e
, existe pelo menos um
tal que
Passo 3
Para ver que não há duas raízes, suponha por absurdo que existam
com
. Pelo Teorema de Rolle, como
é contínua em
e diferenciável em
, existe
tal que
Mas
é sempre estritamente positivo para todo
. Logo não pode haver
com
. Contradição.
Resposta
A equação
possui exatamente uma raiz real (que se encontra em
).