Mostre que a equação x^101+x^51+x-1=0 tem exatamente uma raiz real. (Dica: Usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar a existência e o Teorema do Valor Médio para mostrar a unicidade).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^101 + x^51 + x - 1 = 0
tem exatamente uma raiz real. Vamos definir a função
f(x) = x^101 + x^51 + x - 1
Note que f é contínua e diferenciável em R. Usaremos o Teorema do Valor Intermediário para garantir ao menos uma raiz real e o Teorema de Rolle (caso especial do Teorema do Valor Médio) para mostrar que não pode haver duas raízes distintas.

Passo 2

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, calculamos
f(0) = 0^101 + 0^51 + 0 - 1 = -1
e
f(1) = 1^101 + 1^51 + 1 - 1 = 2
Como f é contínua em [0,1] e f(0)cdot f(1) = (-1)cdot 2 < 0, existe pelo menos um cin(0,1) tal que
f(c)=0

Passo 3

Para ver que não há duas raízes, suponha por absurdo que existam a<b com f(a)=f(b)=0. Pelo Teorema de Rolle, como f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), existe cin(a,b) tal que
f'(c) = 0
Mas
f'(x) = 101,x^100 + 51,x^50 + 1
é sempre estritamente positivo para todo xinR. Logo não pode haver c com f'(c)=0. Contradição.

Resposta

A equação x^101+x^51+x-1=0 possui exatamente uma raiz real (que se encontra em (0,1)).

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