Conhecendo phi1(t), use o método de redução de ordem para obter uma segunda solução phi2(t) para as equações abaixo.
a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com b^2-4 a c=0 e phi1(t)=e^-b t / 2 a.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de redução de ordem numa EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e raiz dupla do polinômio característico. A equação é
a,y'' + b,y' + c,y = 0, b^2 - 4ac = 0,
e a solução conhecida é phi1(t)=e^-tfracb2at. Vamos precisar usar o formato padrão da EDO e a fórmula de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, dividimos a equação por a para obter a forma padrão
y'' + ba,y' + ca,y = 0
Aqui o coeficiente de y' é P(t)=tfracba.

Passo 3

Pela teoria de redução de ordem, se phi1(t) é uma solução, então uma segunda solução pode ser buscada por
phi2(t)=phi1(t)integral e^-integral P(t),dt[phi1(t)]^2,dt

Passo 4

Calculamos
integral P(t),dt = integral ba,dt = bat,
o que dá
e^-integral P(t),dt=e^-tfracbat,
e como ([\phi_1(t)]2=e{-\tfrac{b}{a}t},] o integrando fica 1. Assim
integral 1,dt = t

Passo 5

Logo a segunda solução é
phi2(t)=phi1(t)cdot t = t,e^-tfracb2at

Resposta

phi2(t)=t,e^-tfracb2at

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