Escreva a expansão em séries de Laurent para a função f(z)=senh(z)z^2.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(z)=sinh(z)z^2, e queremos a expansão em série de Laurent ao redor de z=0. Para isso vamos usar a série de Taylor de sinh(z) e depois dividir termo a termo por z^2.

Passo 2

A função hiperbólica sinh(z) tem a expansão em série de Taylor em torno de zero dada por
sinh(z)=sumn=0^inftyz^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Agora dividimos essa série por z^2, obtendo a série de Laurent de f(z):
f(z)=sinh(z)z^2=sumn=0^inftyz^2n+1(2n+1)!cdot1z^2=sumn=0^inftyz^2n-1(2n+1)!

Passo 4

Para ver o padrão, extraímos os primeiros termos: para n=0 vem z^-1/1!, para n=1 vem z^1/3!, para n=2 vem z^3/5!, e assim por diante.
Portanto, a expansão de Laurent de f(z) em torno de z=0 é uma série com termo principal z^-1 seguido de potências ímpares não negativas.

Resposta

f(z)=1z+z3!+z^35!+z^57!+cdots=1z+z6+z^3120+z^55040+cdots(0<|z|

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