(Equação de Legendre) A equação
(1-t^2) y^prime prime-2 t y^prime+lambda(lambda+1) y=0, t in(-1,1)
é conhecida como a Equação de Legendre, onde lambda é um parâmetro. Considere a Equação de Legendre com lambda=1 :
(1-t^2) y^prime prime-2 t y^prime+2 y=0
(a) Verifique que phi1(t)=t é uma solução de (0.2).
Desejamos determinar outra solução phi2(t) para 0.2 sob a forma
phi2(t)=v(t) phi1(t)
(b) Substitua 0.3) na equação 0.2 e usando z=v^prime, obtenha a equação
z^prime+(2t-2 t1-t^2) z=0
© Obtenha a solução
z(t)=Ct^2(1-t^2)
da equação de primeira ordem (0.4).
(d) Integre z(t) (sugiro usar frações parciais) para obter
v(t)=C[-1t+12 ln 1+t1-t]
(e) Conclua escrevendo uma expressão para phi2(t).

Passo 1

O exercício trata da equação de Legendre com λ=1:
Temos a EDO de segunda ordem
(1 - t^2)y'' - 2t y' + 2y = 0, t in (-1,1)
O problema pede (a) verificar que φ₁(t)=t é solução; (b) buscar uma segunda solução φ₂(t)=v(t)·φ₁(t) por redução de ordem; © chegar à equação de primeira ordem em z=v′; (d) resolver para z e depois integrar para v; (e) escrever φ₂.

Passo 2

Vamos checar que φ₁(t)=t satisfaz a equação. Calculamos
y = t, y' = 1, y'' = 0
Substituindo em
(1 - t^2)y'' - 2t y' + 2y = 0
tenho
(1 - t^2) imes 0 - 2t imes 1 + 2t = -2t + 2t = 0,
logo φ₁ é de fato solução.

Passo 3

Procuramos φ₂(t)=v(t)·t. Calculamos derivadas:
φ₂' = v' t + v, φ₂''=v''t + 2v'
Substituindo em (1−t²)φ₂’‘−2tφ₂’+2φ₂=0 e dividindo por t, obtemos, após simplificar, em termos de z=v’:
z' + iggl(2t - 2t1-t^2gr)z = 0 

Passo 4

Resolvemos agora a equação linear de primeira ordem
z' + P(t) s z = 0,
com
P(t)=2t-2t1-t^2
Como é separável, escrevemos
dzz = -l(2t-2t1-t^2r),dt
e integramos para obter
z(t) = Ct^2(1-t^2)

Passo 5

Para achar v(t), integramos z(t):
v(t)=integral z(t),dt = Cintegral dtt^2(1-t^2)
Fazendo frações parciais e integrando, chega-se a
v(t)=Cl[-1t + 12 ln1+t1-tr] + C0
Podemos desprezar a constante aditiva C₀, pois ela dá solução proporcional a φ₁.

Passo 6

Finalmente, φ₂(t)=v(t)·t. Assim,
φ₂(t)=Cl[-1 + t2ln1+t1-tr],
daí uma segunda solução independente de φ₁.

Resposta

φ₂(t)= -1 + \tfrac{t}{2} \ln!\bigl(\tfrac{1+t}{1-t}\bigr), (até fator constante)

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