(Equação de Legendre) A equação
é conhecida como a Equação de Legendre, onde
é um parâmetro. Considere a Equação de Legendre
:
(a) Verifique que
é uma solução de (0.2).
Desejamos determinar outra solução
para 0.2 sob a forma
(b) Substitua 0.3) na equação 0.2 e usando
, obtenha a equação
© Obtenha a solução
da equação de primeira ordem (0.4).
(d) Integre
(sugiro usar frações parciais) para obter
(e) Conclua escrevendo uma expressão para
.
(d) Integre
Passo 1
O exercício trata da equação de Legendre com λ=1:
Temos a EDO de segunda ordem
Temos a EDO de segunda ordem
O problema pede (a) verificar que φ₁(t)=t é solução; (b) buscar uma segunda solução φ₂(t)=v(t)·φ₁(t) por redução de ordem; © chegar à equação de primeira ordem em z=v′; (d) resolver para z e depois integrar para v; (e) escrever φ₂.
Passo 2
Vamos checar que φ₁(t)=t satisfaz a equação. Calculamos
Substituindo em
tenho
logo φ₁ é de fato solução.
Passo 3
Procuramos φ₂(t)=v(t)·t. Calculamos derivadas:
Substituindo em (1−t²)φ₂’‘−2tφ₂’+2φ₂=0 e dividindo por t, obtemos, após simplificar, em termos de z=v’:
Passo 4
Resolvemos agora a equação linear de primeira ordem
com
Como é separável, escrevemos
e integramos para obter
Passo 5
Para achar v(t), integramos z(t):
Fazendo frações parciais e integrando, chega-se a
Podemos desprezar a constante aditiva C₀, pois ela dá solução proporcional a φ₁.
Passo 6
Finalmente, φ₂(t)=v(t)·t. Assim,
daí uma segunda solução independente de φ₁.
Resposta
φ₂(t)= -1 + \tfrac{t}{2} \ln!\bigl(\tfrac{1+t}{1-t}\bigr), (até fator constante)