Conhecendo o segundo termo igual a 3 e o sétimo termo igual a 729 de uma progressão geométrica, qual é o valor do primeiro termo dessa PG?
a) 1 / 3
b) 1
c) 3
d) 3 / 2
e) 9

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • O segundo termo da progressão geométrica vale a_2 = 3.
  • O sétimo termo da progressão geométrica vale a_7 = 729.
O que o problema pede:
  • Determinar o primeiro termo a_1 da PG.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar (explicada com calma):
a_n = a_1 r^{\,n-1}
onde:
  • a_n é o termo de posto n da PG;
  • a_1 é o primeiro termo (o que queremos achar);
  • r é a razão da PG (o fator multiplicativo entre termos);
  • n é a posição do termo.
Essa fórmula vem da definição de PG: cada termo é obtido multiplicando o anterior por r, então indo do primeiro até o n-ésimo são n-1 multiplicações por r.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos termos que conhecemos:
a_2 = a_1 r^{\,1} = a_1 r,
a_7 = a_1 r^{\,6}.

Passo 4

Dividimos as duas expressões para eliminar a_1 e obter uma equação só em r:
\frac{a_7}{a_2} = \frac{a_1 r^{6}}{a_1 r} = r^{5}.
Substituindo os valores dados:
\frac{729}{3} = r^{5}.

Passo 5

Calcule a razão direita:
\frac{729}{3} = 243,
portanto
r^{5} = 243.
Para resolver r^{5}=243 reconheça que 243 é potência de 3: 243=3^{5}. Assim, a raiz quinta de 243 é 3. Como os termos fornecidos são positivos, escolhemos a raiz real positiva:
r = 3.

Passo 6

Agora voltamos a a_2 = a_1 r e isolamos a_1:
a_1 = \frac{a_2}{r}.
Substituindo a_2=3 e r=3:
a_1 = \frac{3}{3} = 1.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro): calcule a_7 com os valores encontrados:
a_7 = a_1 r^{6} = 1 \cdot 3^{6} = 729,
que coincide com o dado do enunciado. Tudo consistente.

Resposta

b) 1

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