Conhecendo o segundo termo igual a 3 e o sétimo termo igual a 729 de uma progressão geométrica, qual é o valor do primeiro termo dessa PG?
a)
b) 1
c) 3
d)
e) 9
a)
b) 1
c) 3
d)
e) 9
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado:
- O segundo termo da progressão geométrica vale
. - O sétimo termo da progressão geométrica vale
.
O que o problema pede:
- Determinar o primeiro termo
da PG.
Passo 2
Fórmula fundamental que vamos usar (explicada com calma):
onde:
-
é o termo de posto da PG; -
é o primeiro termo (o que queremos achar); -
é a razão da PG (o fator multiplicativo entre termos); -
é a posição do termo.
Essa fórmula vem da definição de PG: cada termo é obtido multiplicando o anterior por
, então indo do primeiro até o
-ésimo são
multiplicações por
.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos termos que conhecemos:
Passo 4
Dividimos as duas expressões para eliminar
e obter uma equação só em
:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Calcule a razão direita:
portanto
Para resolver
reconheça que
é potência de
:
. Assim, a raiz quinta de
é
. Como os termos fornecidos são positivos, escolhemos a raiz real positiva:
Passo 6
Agora voltamos a
e isolamos
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Verificação rápida (para ficar seguro): calcule
com os valores encontrados:
que coincide com o dado do enunciado. Tudo consistente.
Resposta
b) 1