Uma progressão geométrica infinita possui o primeiro termo igual a 27 e o terceiro termo igual a 3. Qual é a soma dos infinitos termos dessa progressão?
a) 36 ou 18
b) 54 ou 27
c) 81 ou 27
d) 45 ou 15
e) 72 ou 24
a) 36 ou 18
b) 54 ou 27
c) 81 ou 27
d) 45 ou 15
e) 72 ou 24
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Dados: o primeiro termo da progressão geométrica infinita é
e o terceiro termo é . Ou seja: -
- Pedido: encontrar a soma dos infinitos termos dessa progressão.
Passo 2
Definição e notação básicas (passo-a-passo como numa prova).
- Em uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo
e razão , o termo geral é dado por
Aqui cada símbolo significa:
-
= n-ésimo termo da PG, -
= primeiro termo (já sabemos que é ), -
= razão (número que multiplica um termo para obter o próximo). - Aplicando essa fórmula ao terceiro termo (
) temos
Passo 3
Usar os dados para achar a razão
.
- Substituindo
e na fórmula de :
- Isolando
:
- Portanto
Explicando: há duas possibilidades de razão que satisfazem
, uma positiva e uma negativa. Vou manter ambas e verificar se cada uma gera soma infinita válida.
Passo 4
Condição de existência da soma infinita e fórmula da soma.
- Uma PG infinita geométrica tem soma finita somente se a razão satisfizer
. Neste caso a soma é dada por
- Breve derivação (útil para a prova): suponha
. Multiplicando por e subtraindo obtém-se , daí . Cada símbolo já foi explicado antes.
Passo 5
Verificar a condição
para as duas raízes e calcular as somas.
-
Ambas as soluções
e satisfazem . Logo as duas produzem somas convergentes. Agora calcular cada soma com a fórmula. -
Caso
:
- Caso
:
Passo 6
Interpretação final e verificação com as alternativas fornecidas.
- Resultado: existem duas somas possíveis dependendo do sinal da razão:
-
quando . -
quando .
-
- Observação importante: nenhuma das alternativas listadas no enunciado coincide com esses valores. Portanto a resposta correta, matematicamente, são os valores acima.