Uma progressão geométrica infinita possui o primeiro termo igual a 27 e o terceiro termo igual a 3. Qual é a soma dos infinitos termos dessa progressão?
a) 36 ou 18
b) 54 ou 27
c) 81 ou 27
d) 45 ou 15
e) 72 ou 24

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados: o primeiro termo da progressão geométrica infinita é 27 e o terceiro termo é 3. Ou seja:
    • a_1=27
    • a_3=3
  • Pedido: encontrar a soma dos infinitos termos dessa progressão.

Passo 2

Definição e notação básicas (passo-a-passo como numa prova).
  • Em uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo a_1 e razão r, o termo geral é dado por
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_n = n-ésimo termo da PG,
  • a_1 = primeiro termo (já sabemos que é 27),
  • r = razão (número que multiplica um termo para obter o próximo).
  • Aplicando essa fórmula ao terceiro termo ( n=3) temos
a_3 = a_1\,r^{2}.

Passo 3

Usar os dados para achar a razão r.
  • Substituindo a_1=27 e a_3=3 na fórmula de a_3:
3 = 27\,r^{2}.
  • Isolando r^{2}:
r^{2} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}.
  • Portanto
r = \pm \frac{1}{3}.
Explicando: há duas possibilidades de razão que satisfazem r^{2}=1/9, uma positiva e uma negativa. Vou manter ambas e verificar se cada uma gera soma infinita válida.

Passo 4

Condição de existência da soma infinita e fórmula da soma.
  • Uma PG infinita geométrica tem soma finita somente se a razão satisfizer \lvert r\rvert<1. Neste caso a soma é dada por
S = \frac{a_1}{1-r}.
  • Breve derivação (útil para a prova): suponha S=a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots. Multiplicando por r e subtraindo obtém-se S(1-r)=a_1, daí S=a_1/(1-r). Cada símbolo já foi explicado antes.

Passo 5

Verificar a condição \lvert r\rvert<1 para as duas raízes e calcular as somas.
  • Ambas as soluções r=\dfrac{1}{3} e r=-\dfrac{1}{3} satisfazem \lvert r\rvert=\dfrac{1}{3}<1. Logo as duas produzem somas convergentes. Agora calcular cada soma com a fórmula.
  • Caso r=\dfrac{1}{3}:
S=\frac{a_1}{1-r}=\frac{27}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{27}{\tfrac{2}{3}}=27\cdot\frac{3}{2}=\frac{81}{2}=40,5.
  • Caso r=-\dfrac{1}{3}:
S=\frac{a_1}{1-r}=\frac{27}{1-(-\tfrac{1}{3})}=\frac{27}{1+\tfrac{1}{3}}=\frac{27}{\tfrac{4}{3}}=27\cdot\frac{3}{4}=\frac{81}{4}=20,25.

Passo 6

Interpretação final e verificação com as alternativas fornecidas.
  • Resultado: existem duas somas possíveis dependendo do sinal da razão:
    • S=\dfrac{81}{2}=40,5 quando r=\dfrac{1}{3}.
    • S=\dfrac{81}{4}=20,25 quando r=-\dfrac{1}{3}.
  • Observação importante: nenhuma das alternativas listadas no enunciado coincide com esses valores. Portanto a resposta correta, matematicamente, são os valores acima.

Resposta

\dfrac{81}{2}
\dfrac{81}{4}

Exercícios relacionados