Em uma progressão geométrica, o terceiro termo é igual a 4 e o sexto termo é igual a 108. Qual é o valor do primeiro termo dessa progressão?
a)
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a)
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede uma coisa clara. Vou listar isso para a gente não se perder:
- Informação 1: o terceiro termo da progressão geométrica vale
. - Informação 2: o sexto termo da progressão geométrica vale
. - Pergunta: qual é o valor do primeiro termo dessa progressão?
Passo 2
Lembrando a definição prática que vamos usar: numa progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. A fórmula geral do
-ésimo termo é
onde:
-
é o termo de posição , -
é o primeiro termo (o que queremos), -
é a razão da PG, -
é o índice do termo.
Vou usar essa fórmula para escrever as equações dadas pelo enunciado.
Passo 3
Usando a fórmula para o terceiro termo (
) e o sexto termo (
):
Aqui represento explicitamente o que cada número significa: peguei
e
do enunciado como
e
respectivamente.
Passo 4
Para eliminar
e achar
, divido a segunda equação pela primeira:
No lado numérico:
Passo 5
Agora resolvo
. A raiz cúbica de
é
, porque
. Então
Comentário rápido: como
é positivo, a raiz cúbica real é única e positiva aqui, então não há ambiguidade de sinal.
Passo 6
Com
, volto à equação que envolve
para calcular
:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos conferir rapidamente: se
e
, então
o que bate certinho com o enunciado. Logo a solução está correta.
Passo 8
Resumo final e incentivo: encontramos
e
. Pode parecer estranho quando a resposta não aparece entre as alternativas usuais, mas o raciocínio é direto e verificável — confia que deu certo! Se estiver fazendo prova e as alternativas não baterem com o que se obteve, vale revisar enunciado e cálculos; aqui tá tudo consistente.