Em uma progressão geométrica, o terceiro termo é igual a 4 e o sexto termo é igual a 108. Qual é o valor do primeiro termo dessa progressão?
a) \frac{1}{2}
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede uma coisa clara. Vou listar isso para a gente não se perder:
  • Informação 1: o terceiro termo da progressão geométrica vale \;4\;.
  • Informação 2: o sexto termo da progressão geométrica vale \;108\;.
  • Pergunta: qual é o valor do primeiro termo dessa progressão?

Passo 2

Lembrando a definição prática que vamos usar: numa progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum r. A fórmula geral do n-ésimo termo é
a_n = a_1\,r^{\,n-1},
onde:
  • a_n é o termo de posição n,
  • a_1 é o primeiro termo (o que queremos),
  • r é a razão da PG,
  • n é o índice do termo.
Vou usar essa fórmula para escrever as equações dadas pelo enunciado.

Passo 3

Usando a fórmula para o terceiro termo ( n=3) e o sexto termo ( n=6):
a_3 = a_1\,r^{2} = 4,
a_6 = a_1\,r^{5} = 108.
Aqui represento explicitamente o que cada número significa: peguei \;4\; e \;108\; do enunciado como a_3 e a_6 respectivamente.

Passo 4

Para eliminar a_1 e achar r, divido a segunda equação pela primeira:
\frac{a_6}{a_3}=\frac{a_1 r^{5}}{a_1 r^{2}} = r^{3}.
No lado numérico:
r^{3}=\frac{108}{4}=27.

Passo 5

Agora resolvo r^{3}=27. A raiz cúbica de 27 é 3, porque 3^{3}=27. Então
r=3.
Comentário rápido: como 27 é positivo, a raiz cúbica real é única e positiva aqui, então não há ambiguidade de sinal.

Passo 6

Com r=3, volto à equação que envolve a_3 para calcular a_1:
a_3 = a_1\,r^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{4}{r^{2}}.
Substituindo r=3:
a_1=\frac{4}{3^{2}}=\frac{4}{9}.

Passo 7

Vamos conferir rapidamente: se a_1=\dfrac{4}{9} e r=3, então
a_6 = a_1\,r^{5}=\frac{4}{9}\cdot 3^{5}=\frac{4}{9}\cdot 243=\frac{4\cdot243}{9}=4\cdot27=108,
o que bate certinho com o enunciado. Logo a solução está correta.

Passo 8

Resumo final e incentivo: encontramos r=3 e a_1=\dfrac{4}{9}. Pode parecer estranho quando a resposta não aparece entre as alternativas usuais, mas o raciocínio é direto e verificável — confia que deu certo! Se estiver fazendo prova e as alternativas não baterem com o que se obteve, vale revisar enunciado e cálculos; aqui tá tudo consistente.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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