Conhecendo a série de Maclaurin \cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, determine uma série de Maclaurin para a função f(x) =\mathrm{x}^{3} \cos (2 \mathrm{x}).
Selecione a resposta:
A) \quad \mathrm{x}^{3} \cos (2 \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1) \frac{\mathrm{n} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+3}}{(2 \mathrm{n})!}
B) \quad \mathrm{x}^{3} \cos (2 \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1) \frac{\mathrm{n}}{2^{2 \mathrm{n}} \mathrm{x}^{5 n}}
C) \quad \mathrm{x}^{3} \cos (2 \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1) \frac{\mathrm{n} \frac{2^{2 \mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+3}}{(2 \mathrm{n})!}}{}
D) \mathrm{x}^{3} \cos (2 \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{x}^{6 n}}{(2 \mathrm{n})!}

Passo 1

O enunciado dá a série de Maclaurin da função \cos(x):
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!},
e pede para determinar uma série de Maclaurin para a função f(x)=x^{3}\cos(2x).
Informações relevantes: a série da \cos(x) (acima) e a função alvo f(x)=x^{3}\cos(2x). A tarefa final é comparar com as alternativas e escolher a correta.

Passo 2

Primeiro conceito importante: uma série de Maclaurin é a expansão em série de potências centrada em 0. Se conhecemos a série de uma função g(x), podemos obter a série de g(ax) substituindo x por ax em cada termo. Aqui vamos aplicar isso para \cos(2x). Substituindo x por 2x na série dada, obtemos:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}.
Explicando cada parte: o índice n percorre os termos da soma; (2x)^{2n} é o resultado da substituição; (2n)! é o fatorial que vem da série original.

Passo 3

Vamos simplificar (2x)^{2n}. Temos (2x)^{2n}=2^{2n}x^{2n}. Substituindo isso na série de \cos(2x) obtemos:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Aqui 2^{2n} pode também ser escrito como 4^{n}, mas vou deixar como 2^{2n} por clareza.

Passo 4

Agora multiplicamos por x^{3} para obter f(x)=x^{3}\cos(2x). Multiplicar termo a termo pela série significa acrescentar x^{3} à potência de x em cada termo:
x^{3}\cos(2x)=x^{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n+3}}{(2n)!}.
Explicando: cada termo original tem x^{2n}; ao multiplicar por x^{3} fica x^{2n+3}. O coeficiente (-1)^{n}2^{2n}/(2n)! permanece.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos para conferir se faz sentido (sanity check):
  • Para n=0: termo é (-1)^{0}\dfrac{2^{0}x^{3}}{0!}=x^{3}.
  • Para n=1: termo é (-1)^{1}\dfrac{2^{2}x^{5}}{2!}=-\dfrac{4x^{5}}{2}=-2x^{5}.
  • Para n=2: termo é (-1)^{2}\dfrac{2^{4}x^{7}}{4!}=\dfrac{16x^{7}}{24}=\dfrac{2}{3}x^{7}.
    Assim a série começa
x^{3}-2x^{5}+\dfrac{2}{3}x^{7}+\cdots,
o que é compatível com a fórmula geral obtida.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde exatamente à série que obtivemos é a que apresenta
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n+3}}{(2n)!}.
Essa expressão aparece na alternativa C (embora a alternativa esteja escrita de forma confusa, é a que contém o fator 2^{2n}x^{2n+3}/(2n)! multiplicado por (-1)^{n}).

Resposta

C

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