Conhecendo a série de Maclaurin
, determine uma série de Maclaurin para a função
.
Selecione a resposta:
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado dá a série de Maclaurin da função
:
e pede para determinar uma série de Maclaurin para a função
.
Informações relevantes: a série da (acima) e a função alvo
. A tarefa final é comparar com as alternativas e escolher a correta.
Informações relevantes: a série da
Passo 2
Primeiro conceito importante: uma série de Maclaurin é a expansão em série de potências centrada em
. Se conhecemos a série de uma função
, podemos obter a série de
substituindo
por
em cada termo. Aqui vamos aplicar isso para
. Substituindo
por
na série dada, obtemos:
Explicando cada parte: o índice
percorre os termos da soma;
é o resultado da substituição;
é o fatorial que vem da série original.
Passo 3
Vamos simplificar
. Temos
. Substituindo isso na série de
obtemos:
Aqui
pode também ser escrito como
, mas vou deixar como
por clareza.
Passo 4
Agora multiplicamos por
para obter
. Multiplicar termo a termo pela série significa acrescentar
à potência de
em cada termo:
Explicando: cada termo original tem
; ao multiplicar por
fica
. O coeficiente
permanece.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos para conferir se faz sentido (sanity check):
- Para
: termo é . - Para
: termo é . - Para
: termo é .
Assim a série começa
o que é compatível com a fórmula geral obtida.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde exatamente à série que obtivemos é a que apresenta
Essa expressão aparece na alternativa C (embora a alternativa esteja escrita de forma confusa, é a que contém o fator
multiplicado por
).
Resposta
C