Conhecendo a série de Maclaurin \cos (\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n})!}, a alternativa abaixo que mais se aproxima do valor da integral definida \int_{0}^{1} \cos \left(\mathrm{x}^{2}\right) \mathrm{dx} é
Selecione a resposta:
A 0,9045
B 0,8416
C 0,0953
D 0,9999

Passo 1

O enunciado dá a série de Maclaurin
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
e pede para escolher, entre as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima do valor da integral
\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx.
Informações relevantes listadas:
\text{Integral: }\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx.
\text{Alternativas: }A\;0,9045,\quad B\;0,8416,\quad C\;0,0953,\quad D\;0,9999.

Passo 2

Vamos usar a série dada substituindo x por x^{2}. Isso nos dá a expansão em série de potências de \cos(x^{2}):
\cos(x^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n}}{(2n)!}.
Aqui eu apenas troquei x por x^{2} na série de \cos(x); cada potência x^{2n} virou (x^{2})^{2n}=x^{4n}.

Passo 3

Posso integrar a série termo a termo no intervalo [0,1] porque a série de potências de \cos(x^{2}) converge uniformemente em [0,1] (séries de funções analíticas convergem uniformemente em intervalos fechados e limitados). Portanto:
\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n}}{(2n)!}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}\int_{0}^{1}x^{4n}\,dx.

Passo 4

Calculo a integral elementar \int_{0}^{1}x^{4n}\,dx. Para 4n\neq -1 vale a regra da potência:
\int_{0}^{1}x^{4n}\,dx=\left[\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4n+1}.
Substituindo na soma:
\int_{0}^{1}\cos(x^{2})\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!\,(4n+1)}.
Ou seja, a integral é exatamente essa série alternada.

Passo 5

Agora vamos calcular os primeiros termos da série e somar até atingir precisão suficiente para distinguir as alternativas.
Termo n=0:
\text{termo}_0=\frac{1}{(0)!\,(1)}=1.
Soma parcial S_0=1.
Termo n=1:
\text{termo}_1=-\frac{1}{2!\cdot 5}=-\frac{1}{10}=-0,1.
Soma parcial S_1=1-0,1=0,9.
Termo n=2:
\text{termo}_2=+\frac{1}{4!\cdot 9}=\frac{1}{24\cdot 9}=\frac{1}{216}\approx 0,0046296296.
Soma parcial
S_2=0,9+0,0046296296\approx 0,9046296296.
Termo n=3:
\text{termo}_3=-\frac{1}{6!\cdot 13}=-\frac{1}{720\cdot 13}=-\frac{1}{9360}\approx -0,0001068376.
Soma parcial
S_3\approx 0,9046296296-0,0001068376\approx 0,9045227920.
Termo n=4:
\text{termo}_4=+\frac{1}{8!\cdot 17}=\frac{1}{40320\cdot 17}=\frac{1}{685440}\approx 0,0000014583.
Soma parcial
S_4\approx 0,9045227920+0,0000014583\approx 0,9045242503.
Os termos já estão ficando muito pequenos (próximo de 10^{-6} a partir de n=4).

Passo 6

Controle de erro: como a série é alternada com termos de módulo decrescente e limitados a zero, o Teorema da Série Alternada (Critério de Leibniz) garante que o erro ao truncar a série é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. Assim, se pararmos em S_3 o erro é \le |\text{termo}_4|\approx 0,0000014583; se pararmos em S_4 o erro é \le |\text{termo}_5|, que é da ordem de 10^{-8}. Portanto o valor real da integral está entre
S_3\\ \text{e}\\ S_4,
isto é, aproximadamente entre 0,9045227920 e 0,9045242503. Em particular, o valor correto arredondado a quatro casas decimais é 0,9045.

Passo 7

Comparando o valor aproximado 0,904524\ldots com as alternativas:
A 0,9045 — coincide com o valor calculado (diferença menor que 10^{-4});
B 0,8416 — muito distante;
C 0,0953 — completamente diferente;
D 0,9999 — também distante.
Logo a alternativa que mais se aproxima é a alternativa A.

Resposta

A 0,9045

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