Conhecendo a série de Maclaurin
, a alternativa abaixo que mais se aproxima do valor da integral definida
é
Selecione a resposta:
A 0,9045
B 0,8416
C 0,0953
D 0,9999
Passo 1
O enunciado dá a série de Maclaurin
e pede para escolher, entre as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima do valor da integral
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Vamos usar a série dada substituindo
por
. Isso nos dá a expansão em série de potências de
:
Aqui eu apenas troquei
por
na série de
; cada potência
virou
.
Passo 3
Posso integrar a série termo a termo no intervalo
porque a série de potências de
converge uniformemente em
(séries de funções analíticas convergem uniformemente em intervalos fechados e limitados). Portanto:
Passo 4
Calculo a integral elementar
. Para
vale a regra da potência:
Substituindo na soma:
Ou seja, a integral é exatamente essa série alternada.
Passo 5
Agora vamos calcular os primeiros termos da série e somar até atingir precisão suficiente para distinguir as alternativas.
Termo
:
Soma parcial
.
Termo
:
Soma parcial
.
Termo
:
Soma parcial
Termo
:
Soma parcial
Termo
:
Soma parcial
Os termos já estão ficando muito pequenos (próximo de
a partir de
).
Passo 6
Controle de erro: como a série é alternada com termos de módulo decrescente e limitados a zero, o Teorema da Série Alternada (Critério de Leibniz) garante que o erro ao truncar a série é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. Assim, se pararmos em
o erro é
; se pararmos em
o erro é
, que é da ordem de
. Portanto o valor real da integral está entre
isto é, aproximadamente entre
e
. Em particular, o valor correto arredondado a quatro casas decimais é
.
Passo 7
Comparando o valor aproximado
com as alternativas:
A — coincide com o valor calculado (diferença menor que
);
B — muito distante;
C — completamente diferente;
D — também distante.
A
B
C
D
Logo a alternativa que mais se aproxima é a alternativa A.
Resposta
A