Integre as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
em relação a
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão
tal que
, mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Observação útil (não estou ainda resolvendo, só notando): aparece
multiplicando uma função de
. Isso sugere uma substituição do tipo
, porque a derivada de
é
— então
vira
. Vamos fazer isso formalmente.
Defina
Como
depende de
, derivando obtemos
Logo o diferencial
é exatamente
. Essa é a razão técnica para escolher essa substituição: simplifica a parte que multiplica a função trigonométrica.
Passo 3
Usando a substituição
trocamos a variável de integração. A integral original
fica
pois substituímos
por
e
dentro da tangente por
.
Passo 4
Agora lembre de uma identidade trigonométrica básica, muito usada em integrais:
Essa identidade vem de
(identidade pitagórica para tangente/ secante). Substituir
por
é útil porque
tem uma antiderivada simples.
Aplicando a identidade dentro da integral:
Passo 5
Separe a integral em duas integrais mais simples:
Agora usamos antiderivadas conhecidas:
- A antiderivada de
é , porque . - A antiderivada de
em é .
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volte à variável original
substituindo
:
Essa é uma primitiva candidata da função original.
Passo 7
É sempre bom checar: diferencie a primitiva encontrada para confirmar. Calcule
Usando a regra da cadeia,
. E
. Somando:
Mas
, então isso é
que é justamente o integrando original. Conferido — a primitiva está correta.