Integre as seguintes expressões:
\int e^{x} \tan ^{2}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int e^{x}\tan^{2}\!\left(e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é e^{x}\tan^{2}\!\left(e^{x}\right) em relação a x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=e^{x}\tan^{2}\!\left(e^{x}\right), mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Observação útil (não estou ainda resolvendo, só notando): aparece e^{x} multiplicando uma função de e^{x}. Isso sugere uma substituição do tipo u=e^{x}, porque a derivada de e^{x} é e^{x} — então e^{x}\,dx vira du. Vamos fazer isso formalmente.
Defina
u = e^{x}.
Como u depende de x, derivando obtemos
du = e^{x}\,dx.
Logo o diferencial e^{x}\,dx é exatamente du. Essa é a razão técnica para escolher essa substituição: simplifica a parte que multiplica a função trigonométrica.

Passo 3

Usando a substituição u=e^{x} trocamos a variável de integração. A integral original
\int e^{x}\tan^{2}\!\left(e^{x}\right)\,dx
fica
\int \tan^{2}\!(u)\,du,
pois substituímos e^{x}\,dx por du e e^{x} dentro da tangente por u.

Passo 4

Agora lembre de uma identidade trigonométrica básica, muito usada em integrais:
\tan^{2}\!(u)=\operatorname{sec}^{2}\!(u)-1.
Essa identidade vem de \operatorname{sec}^{2}u=1+\tan^{2}u (identidade pitagórica para tangente/ secante). Substituir \tan^{2}u por \operatorname{sec}^{2}u-1 é útil porque \operatorname{sec}^{2}u tem uma antiderivada simples.
Aplicando a identidade dentro da integral:
\int \tan^{2}\!(u)\,du = \int \big(\operatorname{sec}^{2}\!(u)-1\big)\,du.

Passo 5

Separe a integral em duas integrais mais simples:
\int \big(\operatorname{sec}^{2}\!(u)-1\big)\,du = \int \operatorname{sec}^{2}\!(u)\,du - \int 1\,du.
Agora usamos antiderivadas conhecidas:
  • A antiderivada de \operatorname{sec}^{2}\!(u) é \tan(u), porque \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
  • A antiderivada de 1 em u é u.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{2}\!(u)\,du - \int 1\,du = \tan(u) - u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volte à variável original x substituindo u=e^{x}:
\tan(u)-u + C = \tan\!\left(e^{x}\right) - e^{x} + C.
Essa é uma primitiva candidata da função original.

Passo 7

É sempre bom checar: diferencie a primitiva encontrada para confirmar. Calcule
\frac{d}{dx}\big(\tan\!\left(e^{x}\right) - e^{x}\big).
Usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\tan\!\left(e^{x}\right)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(e^{x}\right)\cdot \dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}. E \dfrac{d}{dx}(-e^{x})=-e^{x}. Somando:
\operatorname{sec}^{2}\!\left(e^{x}\right)\,e^{x} - e^{x} = e^{x}\big(\operatorname{sec}^{2}\!\left(e^{x}\right)-1\big).
Mas \operatorname{sec}^{2}\!(t)-1=\tan^{2}\!(t), então isso é
e^{x}\tan^{2}\!\left(e^{x}\right),
que é justamente o integrando original. Conferido — a primitiva está correta.

Resposta

\tan\!\left(e^{x}\right)-e^{x}+C

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