Questão (11 pts) Para a função
, determine os seguintes objetos:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais:
(c) Intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão:
(d) Esboço do gráfico:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais:
(c) Intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão:
(d) Esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
(a) o domínio, as raízes (zeros) e as possíveis assíntotas;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e máximos/minimos locais;
(c) intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico.
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e máximos/minimos locais;
(c) intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de
. Não há figura adicional. A função está escrita como soma de potências negativas e pode ser derivada usando regra de potência.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
A função tem denominadores
e
. Devemos excluir valores que anulam qualquer denominador. Assim
. Portanto o domínio é
Explicação rápida: qualquer ponto em que o denominador seja zero não pertence ao domínio porque a expressão fica indefinida.
Passo 3
Encontrar as raízes (soluções de
).
Escrevo
num único quociente para facilitar:
Para resolver
multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que
não é permitido):
Ambos
estão no domínio, logo as raízes são
e
.
Breve observação: multiplicidade — aqui as raízes vêm do numerador simples
, cada uma é simples (multiplicidade 1).
Passo 4
Procurar assíntotas verticais e estudar limites em
.
Já vimos que
não pertence ao domínio, então é candidata a assíntota vertical. Use a forma
. Para
aproximamos
e
, então
Para
, o numerador
e
, então
Portanto
é uma assíntota vertical com comportamento diferente dos dois lados:
quando
e
quando
.
Passo 5
Procurar assíntotas horizontais (comportamento quando
).
Para
e
os termos
e
tendem a zero. Logo
Assim há uma assíntota horizontal
. Observação do sinal: para
temos
(aproxima-se de
); para
temos
(aproxima-se de
).
Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador (quando escrito como quociente de polinômios) é menor que o do denominador.
Passo 6
Calcular a derivada primeira
para estudar monotonicidade.
Uso a regra da potência: se
então
. Escrevo
. Derivando:
Colocando sobre um denominador comum
:
Explicação: zero de
quando numerador
. Pontos onde
é indefinida já são
, fora do domínio.
Passo 7
Determinar os pontos críticos e o sinal de
(logo: crescimento/decrescimento).
Equacão
dá
Denominador
para todo
, então o sinal de
é o sinal de
:
- Se
então e . - Se
então e .
Lembrando que
não pertence ao domínio, separam-se intervalos em quatro partes:
- Em
: → decrescente. - Em
: → crescente. - Em
: → crescente. - Em
: → decrescente.
Portanto há um mínimo local em
(porque
muda de negativo para positivo) e um máximo local em
(porque
muda de positivo para negativo).
Calcular valores:
Resumo: mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 8
Calcular a derivada segunda
para estudar concavidade e pontos de inflexão.
A partir de
, derivamos novamente (regra da potência):
Colocando sobre
:
Zeros candidatos de
vêm de
. Novamente
não pertence ao domínio, e o sinal de
depende tanto de
quanto do sinal de
.
Passo 9
Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão (verificar mudança de sinal de
).
Analise por intervalos, lembrando que
tem sinal de
:
- Em
: e → → concavidade para baixo. - Em
: e → → concavidade para cima. - Em
: e → → concavidade para baixo. - Em
: e → → concavidade para cima.
Assim os pontos
são pontos de inflexão (estão no domínio e
muda de sinal). Calculamos as ordenadas:
Portanto pontos de inflexão em
.
Passo 10
Resumo do comportamento e preparação do esboço (uso das informações para desenhar).
Pontos importantes a marcar no esboço:
- Domínio:
(assíntota vertical ). - Assíntota horizontal:
. - Zeros:
e . - Máximo local:
. - Mínimo local:
. - Pontos de inflexão:
. - Comportamento junto à assíntota vertical:
quando e quando . - Comportamento nas infintas:
, aproximando-se por à direita e por à esquerda.
Instruções de esboço (como desenhar à mão, sem calculadora):
- Para
: a curva vem de quando , decresce até o mínimo em , depois sobe, cruza em , continua subindo até explodir para quando . Concavidade muda em . - Para
: a curva vem de quando , sobe (concavidade muda em ), cruza em , atinge o máximo em e depois decresce suavemente para quando .
Esses pontos e comportamentos garantem um esboço qualitativo correto: dois ramos separados pelo eixo vertical
, assíntota horizontal
, com as marcações dos extremos e inflexões.
Resposta
(a) Domínio:
. Raízes:
e
. Assíntotas: vertical
(com
e
); horizontal
(com
).
(b)
. Cresce em
e em
. Decresce em
e em
. Mínimo local em
. Máximo local em
.
(c)
. Concava para baixo em
e em
. Concava para cima em
e em
. Pontos de inflexão em
e
.
(d) Esboço qualitativo: dois ramos separados por assíntota vertical
. Ramo à esquerda: vem de
(quando
), decresce até mínimo em
, depois sobe, cruza em
e vai para
quando
. Ramo à direita:
quando
, sobe, cruza em
, atinge máximo em
, e decresce para
quando
. Assíntota horizontal:
.