4^{\underline{a}} Questão (11 pts) Para a função f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}, determine os seguintes objetos:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais:
(c) Intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão:
(d) Esboço do gráfico:

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}} e pede quatro coisas:
(a) o domínio, as raízes (zeros) e as possíveis assíntotas;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e máximos/minimos locais;
(c) intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f(x). Não há figura adicional. A função está escrita como soma de potências negativas e pode ser derivada usando regra de potência.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
A função tem denominadores x e x^{3}. Devemos excluir valores que anulam qualquer denominador. Assim x\neq 0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).
Explicação rápida: qualquer ponto em que o denominador seja zero não pertence ao domínio porque a expressão fica indefinida.

Passo 3

Encontrar as raízes (soluções de f(x)=0).
Escrevo f(x) num único quociente para facilitar:
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}.
Para resolver f(x)=0 multiplicamos ambos os lados por x^{3} (lembrando que x=0 não é permitido):
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Ambos x=\pm 1 estão no domínio, logo as raízes são x=1 e x=-1.
Breve observação: multiplicidade — aqui as raízes vêm do numerador simples x^{2}-1, cada uma é simples (multiplicidade 1).

Passo 4

Procurar assíntotas verticais e estudar limites em x\to 0^\pm.
Já vimos que x=0 não pertence ao domínio, então é candidata a assíntota vertical. Use a forma \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}. Para x\to 0^+ aproximamos x^{2}-1\approx -1 e x^{3}\to 0^+, então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\frac{-1}{0^+}=-\infty.
Para x\to 0^-, o numerador \approx -1 e x^{3}\to 0^-, então
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\frac{-1}{0^-}=+\infty.
Portanto x=0 é uma assíntota vertical com comportamento diferente dos dois lados: f\to+\infty quando x\to0^- e f\to-\infty quando x\to0^+.

Passo 5

Procurar assíntotas horizontais (comportamento quando x\to\pm\infty).
Para x\to\infty e x\to -\infty os termos \frac{1}{x} e \frac{1}{x^3} tendem a zero. Logo
\lim_{x\to\infty} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=0.
Assim há uma assíntota horizontal y=0. Observação do sinal: para x\gg 0 temos f(x)\approx 1/x>0 (aproxima-se de 0^+); para x\ll 0 temos f(x)\approx 1/x<0 (aproxima-se de 0^-).
Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador (quando escrito como quociente de polinômios) é menor que o do denominador.

Passo 6

Calcular a derivada primeira f'(x) para estudar monotonicidade.
Uso a regra da potência: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Escrevo f(x)=x^{-1}-x^{-3}. Derivando:
f'(x) = -1\cdot x^{-2} -(-3)\cdot x^{-4} = -x^{-2}+3x^{-4}.
Colocando sobre um denominador comum x^{4}:
f'(x)=\frac{-x^{2}+3}{x^{4}}=\frac{3-x^{2}}{x^{4}}.
Explicação: zero de f' quando numerador 3-x^{2}=0. Pontos onde f' é indefinida já são x=0, fora do domínio.

Passo 7

Determinar os pontos críticos e o sinal de f' (logo: crescimento/decrescimento).
Equacão f'(x)=0
3-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Denominador x^{4}>0 para todo x\neq 0, então o sinal de f' é o sinal de 3-x^{2}:
  • Se |x|<\sqrt{3} então 3-x^{2}>0 e f'(x)>0.
  • Se |x|>\sqrt{3} então 3-x^{2}<0 e f'(x)<0.
Lembrando que x=0 não pertence ao domínio, separam-se intervalos em quatro partes:
  • Em (-\infty,-\sqrt{3}): f'(x)<0 f decrescente.
  • Em (-\sqrt{3},0): f'(x)>0 f crescente.
  • Em (0,\sqrt{3}): f'(x)>0 f crescente.
  • Em (\sqrt{3},\infty): f'(x)<0 f decrescente.
Portanto há um mínimo local em x=-\sqrt{3} (porque f' muda de negativo para positivo) e um máximo local em x=+\sqrt{3} (porque f' muda de positivo para negativo).
Calcular valores:
f\bigl(\sqrt{3}\bigr)=\frac{(\sqrt{3})^{2}-1}{(\sqrt{3})^{3}}=\frac{3-1}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.
f\bigl(-\sqrt{3}\bigr)=\frac{3-1}{(-\sqrt{3})^{3}}=\frac{2}{-3\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Resumo: mínimo local em \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr) e máximo local em \bigl(\sqrt{3},\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr).

Passo 8

Calcular a derivada segunda f''(x) para estudar concavidade e pontos de inflexão.
A partir de f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}, derivamos novamente (regra da potência):
f''(x)=2x^{-3}-12x^{-5}=\frac{2}{x^{3}}-\frac{12}{x^{5}}.
Colocando sobre x^{5}:
f''(x)=\frac{2x^{2}-12}{x^{5}}=\frac{2(x^{2}-6)}{x^{5}}.
Zeros candidatos de f'' vêm de x^{2}-6=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{6}. Novamente x=0 não pertence ao domínio, e o sinal de f'' depende tanto de x^{2}-6 quanto do sinal de x^{5}.

Passo 9

Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão (verificar mudança de sinal de f'').
Analise por intervalos, lembrando que x^{5} tem sinal de x:
  • Em (-\infty,-\sqrt{6}): x^{2}-6>0 e x^{5}<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Em (-\sqrt{6},0): x^{2}-6<0 e x^{5}<0 f''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Em (0,\sqrt{6}): x^{2}-6<0 e x^{5}>0 f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Em (\sqrt{6},\infty): x^{2}-6>0 e x^{5}>0 f''(x)>0 → concavidade para cima.
Assim os pontos x=\pm\sqrt{6} são pontos de inflexão (estão no domínio e f'' muda de sinal). Calculamos as ordenadas:
f\bigl(\sqrt{6}\bigr)=\frac{6-1}{(\sqrt{6})^{3}}=\frac{5}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{36},
f\bigl(-\sqrt{6}\bigr)=-\frac{5}{6\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{36}.
Portanto pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{6},\pm\tfrac{5\sqrt{6}}{36}\bigr).

Passo 10

Resumo do comportamento e preparação do esboço (uso das informações para desenhar).
Pontos importantes a marcar no esboço:
  • Domínio: x\neq 0 (assíntota vertical x=0).
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Zeros: (-1,0) e (1,0).
  • Máximo local: \bigl(\sqrt{3},\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr).
  • Mínimo local: \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr).
  • Pontos de inflexão: \bigl(\pm\sqrt{6},\pm\tfrac{5\sqrt{6}}{36}\bigr).
  • Comportamento junto à assíntota vertical: f\to+\infty quando x\to0^- e f\to-\infty quando x\to0^+.
  • Comportamento nas infintas: \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0, aproximando-se por 0^+ à direita e por 0^- à esquerda.
Instruções de esboço (como desenhar à mão, sem calculadora):
  • Para x<0: a curva vem de y\to 0^- quando x\to -\infty, decresce até o mínimo em -\sqrt{3}, depois sobe, cruza em (-1,0), continua subindo até explodir para +\infty quando x\to 0^-. Concavidade muda em -\sqrt{6}.
  • Para x>0: a curva vem de -\infty quando x\to 0^+, sobe (concavidade muda em +\sqrt{6}), cruza em (1,0), atinge o máximo em \sqrt{3} e depois decresce suavemente para 0^+ quando x\to+\infty.
Esses pontos e comportamentos garantem um esboço qualitativo correto: dois ramos separados pelo eixo vertical x=0, assíntota horizontal y=0, com as marcações dos extremos e inflexões.

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty). Raízes: x=-1 e x=1. Assíntotas: vertical x=0 (com \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty); horizontal y=0 (com \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0).
(b) f'(x)=\dfrac{3-x^{2}}{x^{4}}. Cresce em (-\sqrt{3},0) e em (0,\sqrt{3}). Decresce em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (\sqrt{3},\infty). Mínimo local em \displaystyle\bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr). Máximo local em \displaystyle\bigl(\sqrt{3},\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr).
(c) f''(x)=\dfrac{2(x^{2}-6)}{x^{5}}. Concava para baixo em (-\infty,-\sqrt{6}) e em (0,\sqrt{6}). Concava para cima em (-\sqrt{6},0) e em (\sqrt{6},\infty). Pontos de inflexão em \displaystyle\bigl(-\sqrt{6},-\tfrac{5\sqrt{6}}{36}\bigr) e \displaystyle\bigl(\sqrt{6},\tfrac{5\sqrt{6}}{36}\bigr).
(d) Esboço qualitativo: dois ramos separados por assíntota vertical x=0. Ramo à esquerda: vem de y\to0^- (quando x\to -\infty), decresce até mínimo em -\sqrt{3}, depois sobe, cruza em (-1,0) e vai para +\infty quando x\to0^-. Ramo à direita: f\to -\infty quando x\to0^+, sobe, cruza em (1,0), atinge máximo em \sqrt{3}, e decresce para 0^+ quando x\to+\infty. Assíntota horizontal: y=0.

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