Calcule a derivada direcional da função dada no ponto e direção dados.
F(x, y, z)=3 x-5 y+2 z em(2,2,1) na direção da normal exterior à superfície x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de F(x,y,z)=3x-5y+2z no ponto (2,2,1) na direção da normal externa à superfície x^2+y^2+z^2=9. Isso envolve calcular o gradiente de F, obter a normal à superfície e normalizá-la.

Passo 2

Calcular o gradiente de F:
nabla F = l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) = (3,,-5,,2)

Passo 3

A normal à superfície x^2+y^2+z^2=9 é dada pelo gradiente de g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9:
nabla g = (2x,,2y,,2z),
logo em (2,2,1) vale (4,4,2).

Passo 4

Normalizar (4,4,2) para obter o vetor unitário externo:
|,(4,4,2)| = raiz4^2+4^2+2^2 = raiz36 = 6,
n = 16(4,4,2) = l(tfrac23,,tfrac23,,tfrac13r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
DnF(2,2,1) = nabla Fcdotn = (3,-5,2)cdotl(tfrac23,tfrac23,tfrac13r) = 3cdottfrac23 + (-5)cdottfrac23 + 2cdottfrac13 = 2 - tfrac103 + tfrac23 = -tfrac23

Resposta

-tfrac23

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