Uma cônica tem foco na origem, excentricidade 1 / 2 e vértice ( 1 ; \pi ). Escreva uma equação polar da cônica e esboce a cônica junto com a diretriz.

Passo 1

O enunciado nos dá três informações claras:
  • O foco está na origem: (0,0).
  • A excentricidade é e=\tfrac{1}{2}.
  • Um vértice da cônica tem coordenadas polares (1;\pi), ou seja, r=1 quando \theta=\pi.
O que nos pedem:
  • Escrever a equação polar da cônica (com foco na origem).
  • Esboçar a cônica junto com a diretriz (ou seja, indicar a reta diretriz no plano e pontos-chave da cônica).

Passo 2

Vamos recordar a definição prática e a fórmula padrão em coordenadas polares para uma cônica com foco na origem.
Definição (em palavras): a cônica é o lugar geométrico dos pontos para os quais a distância ao foco (aqui r) é igual a e vezes a distância à diretriz.
Modelagem da diretriz: uma reta diretriz pode ser escrita em coordenadas cartesianas na forma
x\cos\varphi + y\sin\varphi = d,
onde d>0 é a distância (orientada) da diretriz até a origem e \varphi é a direção normal à diretriz (ângulo entre o vetor normal da diretriz e o eixo x).
Converter a equação da diretriz para polares: para um ponto polar (r,\theta) temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Substituindo,
r\cos(\theta-\varphi) = d
é a equação (cartesiana) da reta escrita em polares.
Distância (módulo) do ponto (r,\theta) à diretriz (valor absoluto do lado esquerdo menos d) é |r\cos(\theta-\varphi)-d|.
Pela definição da cônica:
r = e\;|r\cos(\theta-\varphi)-d|.
Escolhendo a orientação (caso em que d>r\cos(\theta-\varphi) para os pontos do arco considerado) obtemos a forma padrão (mais usada)
r = \frac{e d}{1 + e\cos(\theta-\varphi)}.
Esta é a equação polar de uma cônica com foco na origem, diretriz a distância d e normal com ângulo \varphi. Aqui:
  • r é a distância do ponto ao foco (origem),
  • \theta é o ângulo polar do ponto,
  • e é a excentricidade,
  • d e \varphi fixam a diretriz.

Passo 3

Agora usamos o vértice dado (1;\pi) para determinar d e \varphi.
Observação importante sobre vértices na forma polar acima:
  • Os ângulos \theta=\varphi e \theta=\varphi+\pi correspondem aos pontos na direção da linha de simetria (e são os dois vértices ao longo do eixo principal).
  • Para e<1 (elipse), o ponto com \theta=\varphi dá o valor
r(\varphi)=\frac{e d}{1+e}
(e é o vértice mais próximo do foco),
enquanto o ponto com \theta=\varphi+\pi
r(\varphi+\pi)=\frac{e d}{1-e}
(é o vértice mais afastado do foco).
Temos um vértice em \theta=\pi com r=1. Isso significa que \theta=\pi é ou \varphi ou \varphi+\pi. Para decidir, usamos a convenção natural: o vértice mais próximo do foco costuma ser chamado de vértice também — e a expressão com denominador 1+e produz o valor menor. Vamos assumir (convenção comum e que gera uma solução natural) que \theta=\pi é o vértice mais próximo, ou seja
\varphi=\pi.
Com \varphi=\pi e e=\tfrac{1}{2}, impondo que r(\varphi)=1:
1 = r(\pi)=\frac{e d}{1+e} = \frac{\tfrac{1}{2}\,d}{1+\tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{1}{2}d}{\tfrac{3}{2}} = \frac{d}{3}.
Logo
d=3.

Passo 4

Agora escrevemos a equação polar com os valores encontrados. Substituindo e=\tfrac{1}{2}, d=3 e \varphi=\pi na forma padrão:
r = \frac{e d}{1 + e\cos(\theta-\varphi)}
obtemos
r = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot 3}{1 + \tfrac{1}{2}\cos(\theta-\pi)} = \frac{\tfrac{3}{2}}{1 + \tfrac{1}{2}\cos(\theta-\pi)}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 para simplificar a aparência,
\boxed{\,r = \frac{3}{2 + \cos(\theta-\pi)}\,.}
Vamos fazer algumas verificações e calcular pontos-chave (úteis para o esboço):
  • Verificar o vértice dado: em \theta=\pi temos \cos(\theta-\pi)=\cos0=1, então
r=\frac{3}{2+1}=\frac{3}{3}=1,
concordando com o vértice fornecido.
  • Outro vértice (oposto) está em \theta=0 (pois \varphi+\pi=\pi+\pi=2\pi equivalente a 0). Em \theta=0 temos \cos(0-\pi)=\cos(-\pi)=\cos\pi=-1, então
r=\frac{3}{2+(-1)}=\frac{3}{1}=3.
Em coordenadas cartesianas:
  • Vértice dado: (r,\theta)=(1,\pi) -> x=-1,\\ y=0.
  • Outro vértice: (3,0) -> x=3,\\ y=0.
Centro da elipse (ponto médio dos vértices): \bigl(\tfrac{-1+3}{2},0\bigr)=(1,0).
Distância do foco (origem) ao centro: c=1. Semi-eixo maior a é distância do centro a um vértice: a=2. Conferimos a excentricidade e=\tfrac{c}{a}=\tfrac{1}{2} — coerente. Semi-eixo menor
b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.

Passo 5

Localização da diretriz e descrição do esboço:
  • A diretriz correspondente a \varphi=\pi e d=3 tem equação
x\cos\pi + y\sin\pi = d \quad\Longrightarrow\quad -x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -3.
Ou seja, a diretriz é a reta vertical x=-3, localizada à esquerda do foco.
Esboço (como desenhar, passo a passo):
  • Marque o foco na origem (0,0).
  • Desenhe a diretriz como uma linha vertical x=-3 (à esquerda).
  • Marque os vértices em (-1,0) e (3,0).
  • O centro está em (1,0); semi-eixo maior a=2 (então eixo maior vai de -1 a 3 sobre o eixo x).
  • Semi-eixo menor b=\sqrt{3}\approx1,732: então a elipse tem meia-altura aproximadamente 1,732 acima/abaixo do eixo x no centro.
  • Desenhe uma elipse alongada horizontal com essas medidas, com a abertura à direita maior (porque o vértice direito está em x=3) e a diretriz x=-3 fora, à esquerda.
Observação final de verificação: substituindo quaisquer ângulos na equação polar você obtém r>0 e a curva é uma elipse simétrica em torno do eixo x (linha que passa pelas diretrizes dos vértices).

Resposta

r=\dfrac{3}{2+\cos(\theta-\pi)}
Diretriz: x=-3. Vértices: (-1,0) e (3,0). Centro: (1,0). Semi-eixos: a=2, b=\sqrt{3}.

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