Uma cônica tem foco na origem, excentricidade
e vértice (
). Escreva uma equação polar da cônica e esboce a cônica junto com a diretriz.
Passo 1
O enunciado nos dá três informações claras:
- O foco está na origem:
. - A excentricidade é
. - Um vértice da cônica tem coordenadas polares
, ou seja, quando .
O que nos pedem:
- Escrever a equação polar da cônica (com foco na origem).
- Esboçar a cônica junto com a diretriz (ou seja, indicar a reta diretriz no plano e pontos-chave da cônica).
Passo 2
Vamos recordar a definição prática e a fórmula padrão em coordenadas polares para uma cônica com foco na origem.
Definição (em palavras): a cônica é o lugar geométrico dos pontos para os quais a distância ao foco (aqui
) é igual a
vezes a distância à diretriz.
Modelagem da diretriz: uma reta diretriz pode ser escrita em coordenadas cartesianas na forma
onde
é a distância (orientada) da diretriz até a origem e
é a direção normal à diretriz (ângulo entre o vetor normal da diretriz e o eixo
).
Converter a equação da diretriz para polares: para um ponto polar
temos
e
. Substituindo,
é a equação (cartesiana) da reta escrita em polares.
Distância (módulo) do ponto
à diretriz (valor absoluto do lado esquerdo menos
) é
.
Pela definição da cônica:
Escolhendo a orientação (caso em que
para os pontos do arco considerado) obtemos a forma padrão (mais usada)
Esta é a equação polar de uma cônica com foco na origem, diretriz a distância
e normal com ângulo
. Aqui:
-
é a distância do ponto ao foco (origem), -
é o ângulo polar do ponto, -
é a excentricidade, -
e fixam a diretriz.
Passo 3
Agora usamos o vértice dado
para determinar
e
.
Observação importante sobre vértices na forma polar acima:
- Os ângulos
e correspondem aos pontos na direção da linha de simetria (e são os dois vértices ao longo do eixo principal). - Para
(elipse), o ponto com dá o valor
(e é o vértice mais próximo do foco),
enquanto o ponto com dá
enquanto o ponto com
(é o vértice mais afastado do foco).
Temos um vértice em
com
. Isso significa que
é ou
ou
. Para decidir, usamos a convenção natural: o vértice mais próximo do foco costuma ser chamado de vértice também — e a expressão com denominador
produz o valor menor. Vamos assumir (convenção comum e que gera uma solução natural) que
é o vértice mais próximo, ou seja
Com
e
, impondo que
:
Logo
Passo 4
Agora escrevemos a equação polar com os valores encontrados. Substituindo
,
e
na forma padrão:
obtemos
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar a aparência,
Vamos fazer algumas verificações e calcular pontos-chave (úteis para o esboço):
- Verificar o vértice dado: em
temos , então
concordando com o vértice fornecido.
- Outro vértice (oposto) está em
(pois equivalente a ). Em temos , então
Em coordenadas cartesianas:
- Vértice dado:
-> . - Outro vértice:
-> .
Centro da elipse (ponto médio dos vértices):
.
Distância do foco (origem) ao centro:
. Semi-eixo maior
é distância do centro a um vértice:
. Conferimos a excentricidade
— coerente. Semi-eixo menor
Passo 5
Localização da diretriz e descrição do esboço:
- A diretriz correspondente a
e tem equação
Ou seja, a diretriz é a reta vertical
, localizada à esquerda do foco.
Esboço (como desenhar, passo a passo):
- Marque o foco na origem
. - Desenhe a diretriz como uma linha vertical
(à esquerda). - Marque os vértices em
e . - O centro está em
; semi-eixo maior (então eixo maior vai de a sobre o eixo ). - Semi-eixo menor
: então a elipse tem meia-altura aproximadamente acima/abaixo do eixo no centro. - Desenhe uma elipse alongada horizontal com essas medidas, com a abertura à direita maior (porque o vértice direito está em
) e a diretriz fora, à esquerda.
Observação final de verificação: substituindo quaisquer ângulos na equação polar você obtém
e a curva é uma elipse simétrica em torno do eixo
(linha que passa pelas diretrizes dos vértices).
Resposta
Diretriz: