Determine os focos, os vértices e retas assíntotas (caso faça sentido):
da cônica onde seus pontos P satisfazem \left|\left|P Q_{1}\right|-\left|P Q_{2}\right|\right|=8, em que Q_{1}=(-5,0), Q_{2}=(5,0).

Passo 1

O enunciado dá a condição geométrica para os pontos P=(x,y):
\left|\left|P Q_{1}\right|-\left|P Q_{2}\right|\right|=8,
com Q_{1}=(-5,0) e Q_{2}=(5,0).\n
O que é pedido: determinar os focos, os vértices e as retas assíntotas (se fizer sentido) da cônica formada por todos os pontos P que satisfazem essa condição.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: as coordenadas dos pontos Q_{1} e Q_{2} e o valor da diferença absoluta igual a 8.

Passo 2

Interpretando a condição em coordenadas: escrevo as distâncias de P=(x,y) até os focos
|P Q_{1}|=\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}},\qquad |P Q_{2}|=\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}.
A igualdade do enunciado fica (retirando a barra externa de valor absoluto trocando por um sinal \pm, que corresponde às duas ramificações possíveis)
\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=\pm 8.
Vou resolver com o sinal + (a outra escolha dará a outra ramificação simetricamente); no final a equação resultante é a mesma para a cônica.

Passo 3

Isolo uma raiz e quadrado para eliminar raízes: tomo
\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}+8.
Quadrando ambos os lados:
(x+5)^{2}+y^{2}=(x-5)^{2}+y^{2}+16\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}+64.
As parcelas y^{2} cancelam; calculo a diferença dos quadrados:
(x+5)^{2}-(x-5)^{2}=20x.
Logo a igualdade acima vira
20x=16\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}+64.

Passo 4

Isolo a raiz:
16\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=20x-64.
Divido por 16:
\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=\frac{5x-16}{4}.
Agora (novamente) quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
(x-5)^{2}+y^{2}=\left(\frac{5x-16}{4}\right)^{2}=\frac{(5x-16)^{2}}{16}.
Multiplico ambos os lados por 16 para ficar sem denominadores:
16\big((x-5)^{2}+y^{2}\big)=(5x-16)^{2}.

Passo 5

Faço as contas: expandindo
16(x^{2}-10x+25)+16y^{2}=25x^{2}-160x+256.
Reduzindo termos semelhantes:
16x^{2}-160x+400+16y^{2}=25x^{2}-160x+256.
Os termos -160x cancelam; passo tudo para um lado:
0=9x^{2}-16y^{2}-144.
Reescrevendo:
9x^{2}-16y^{2}=144.
Dividindo por 144 para ficar na forma padrão:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 6

Interpretação da equação padrão encontrada: \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a^{2}=16 e b^{2}=9. Assim
a=4,\qquad b=3.
O centro está no ponto médio entre os focos Q_{1} e Q_{2}, que é (0,0). A distância focal 2c é a distância entre Q_{1} e Q_{2}; neste caso
2c=10\implies c=5.
Para hipérbolas vale a relação (razão geométrica) \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}. Confere: 5^{2}=4^{2}+3^{2}.

Passo 7

Agora extraio os elementos pedidos:
  • Os focos são (\pm c,0)=(\pm 5,0). Isto coincide com os pontos dados Q_{1}=(-5,0) e Q_{2}=(5,0).
  • Os vértices são (\pm a,0)=(\pm 4,0), ou seja (-4,0) e (4,0).
  • As retas assíntotas da hipérbole com centro na origem e equação \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 são as linhas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Substituindo a=4 e b=3 obtemos
y=\pm\frac{3}{4}x.

Resposta

Focos: Q_{1}=(-5,0) e Q_{2}=(5,0)\n
Vértices: (-4,0) e (4,0)\n
Retas assíntotas: y=\pm\tfrac{3}{4}x

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