Determine os focos, os vértices e retas assíntotas (caso faça sentido):
da cônica onde seus pontos
satisfazem
, em que
,
.
da cônica onde seus pontos
Passo 1
O enunciado dá a condição geométrica para os pontos
:
com
e
.\n
O que é pedido: determinar os focos, os vértices e as retas assíntotas (se fizer sentido) da cônica formada por todos os pontos que satisfazem essa condição.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: as coordenadas dos pontos e
e o valor da diferença absoluta igual a
.
O que é pedido: determinar os focos, os vértices e as retas assíntotas (se fizer sentido) da cônica formada por todos os pontos
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: as coordenadas dos pontos
Passo 2
Interpretando a condição em coordenadas: escrevo as distâncias de
até os focos
A igualdade do enunciado fica (retirando a barra externa de valor absoluto trocando por um sinal
, que corresponde às duas ramificações possíveis)
Vou resolver com o sinal
(a outra escolha dará a outra ramificação simetricamente); no final a equação resultante é a mesma para a cônica.
Passo 3
Isolo uma raiz e quadrado para eliminar raízes: tomo
Quadrando ambos os lados:
As parcelas
cancelam; calculo a diferença dos quadrados:
Logo a igualdade acima vira
Passo 4
Isolo a raiz:
Divido por
:
Agora (novamente) quadrando ambos os lados para eliminar a raiz:
Multiplico ambos os lados por
para ficar sem denominadores:
Passo 5
Faço as contas: expandindo
Reduzindo termos semelhantes:
Os termos
cancelam; passo tudo para um lado:
Reescrevendo:
Dividindo por
para ficar na forma padrão:
Passo 6
Interpretação da equação padrão encontrada:
com
e
. Assim
O centro está no ponto médio entre os focos
e
, que é
. A distância focal
é a distância entre
e
; neste caso
Para hipérbolas vale a relação (razão geométrica)
. Confere:
.
Passo 7
Agora extraio os elementos pedidos:
- Os focos são
. Isto coincide com os pontos dados e . - Os vértices são
, ou seja e . - As retas assíntotas da hipérbole com centro na origem e equação
são as linhas
Substituindo
e
obtemos
Resposta
Focos:
e
\n
Vértices: e
\n
Retas assíntotas:
Vértices:
Retas assíntotas: