Fixe
e considere a curva parametrizada
sen
.
(a) Esboce a curva indicando direção do movimento com uma seta.
(b) Calcule a área delimitada pela curva.
(a) Esboce a curva indicando direção do movimento com uma seta.
(b) Calcule a área delimitada pela curva.
Passo 1
Enunciado e dados dados pelo exercício:
- A curva é dada pela parametrização
, com . - Perguntas:
(a) Esboçar a curva e indicar a direção do movimento com uma seta.
(b) Calcular a área delimitada pela curva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O parâmetro é
variando em . - Os parâmetros
e são constantes positivas com . - A curva é fechada (porque os valores de
e repetem-se quando percorre um período ).
Passo 2
Mostrar qual é a forma geométrica da curva (elipse). Para isso eliminamos o parâmetro
:
Somando os quadrados das duas igualdades obtemos
Portanto a curva é a elipse de equação
Interpretação geométrica imediata:
- Centro na origem
. - Semieixo maior em
-direção com comprimento (porque quando ). - Semieixo menor em
-direção com comprimento (porque quando ). - Pontos notáveis (pegos da parametrização):
, , , , .
Passo 3
Determinar a direção do movimento (seta) enquanto
aumenta. Uma forma clara é olhar para alguns valores de
e para a velocidade
.
- Derivadas em relação a
:
- Em
: e , ou seja, saímos do ponto superior movendo-nos para a direita. - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Assim, ao aumentarde a percorremos os pontos na ordem . Isso corresponde a um movimento no sentido horário (clockwise). Logo, no esboço devemos desenhar a elipse centrada na origem com setas no sentido horário, começando (se quiser marcar o ponto inicial) em .
Passo 4
Calcular a área usando a fórmula de área para curvas parametrizadas (fórmula do corolário de Green ou fórmula de Green para área): para uma curva fechada simples parametrizada por
com
de
a
,
Explico rápido o que cada símbolo significa:
-
são as funções coordenadas da curva em função do parâmetro . -
e . - A integral fechada
transformou-se na integral de a porque esse é o intervalo do parâmetro que descreve a volta completa.
Agora aplicamos ao nosso caso:
- Já calculamos
e . - Substituindo na integranda:
Simplificando:
Portanto a integral fica
Observação importante sobre o sinal: obtivemos área negativa porque a parametrização percorre a curva no sentido horário; a fórmula dá resultado positivo quando a curva é percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva). A magnitude da área é o valor absoluto:
Passo 5
Método alternativo (mais intuitivo) para reforçar a ideia: considerar a transformação linear que leva o círculo unitário
para a elipse
.
- A curva
é o círculo unitário cujo interior tem área . - A transformação
escala as distâncias em por e em por . A área é multiplicada pelo fator da matriz de escala, que é . - Logo a área da elipse é
vezes a área do círculo unitário, ou seja .
Isto confirma o resultado anterior de forma mais geométrica e rápida.
Resposta
(a) A curva é a elipse
. O movimento, ao aumentar
de
a
, é no sentido horário, começando em
(setas no sentido horário).
(b)
(b)