Fixe a \geq b>0 e considere a curva parametrizada x=a sen t, y=b \cos t, 0 \leq t \leq 2 \pi.
(a) Esboce a curva indicando direção do movimento com uma seta.
(b) Calcule a área delimitada pela curva.

Passo 1

Enunciado e dados dados pelo exercício:
  • A curva é dada pela parametrização \,x = a \sin t,\; y = b \cos t,\; 0 \le t \le 2\pi\,, com a\ge b>0.
  • Perguntas:
    (a) Esboçar a curva e indicar a direção do movimento com uma seta.
    (b) Calcular a área delimitada pela curva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O parâmetro é t variando em [0,2\pi].
  • Os parâmetros a e b são constantes positivas com a\ge b.
  • A curva é fechada (porque os valores de \sin t e \cos t repetem-se quando t percorre um período 2\pi).

Passo 2

Mostrar qual é a forma geométrica da curva (elipse). Para isso eliminamos o parâmetro t:
\frac{x}{a}=\sin t,\qquad \frac{y}{b}=\cos t.
Somando os quadrados das duas igualdades obtemos
\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Portanto a curva é a elipse de equação
\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1.
Interpretação geométrica imediata:
  • Centro na origem (0,0).
  • Semieixo maior em x-direção com comprimento a (porque x=\pm a quando \sin t=\pm1).
  • Semieixo menor em y-direção com comprimento b (porque y=\pm b quando \cos t=\pm1).
  • Pontos notáveis (pegos da parametrização): t=0\Rightarrow(0,b), t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow(a,0), t=\pi\Rightarrow(0,-b), t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow(-a,0), t=2\pi\Rightarrow(0,b).

Passo 3

Determinar a direção do movimento (seta) enquanto t aumenta. Uma forma clara é olhar para alguns valores de t e para a velocidade (\dot x,\dot y).
  • Derivadas em relação a t:
\dot x=\frac{dx}{dt}=a\cos t,\qquad \dot y=\frac{dy}{dt}=-b\sin t.
  • Em t=0: (x,y)=(0,b) e (\dot x,\dot y)=(a,0), ou seja, saímos do ponto superior (0,b) movendo-nos para a direita.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(a,0).
  • Em t=\pi: (x,y)=(0,-b).
  • Em t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(-a,0).
    Assim, ao aumentar t de 0 a 2\pi percorremos os pontos na ordem (0,b)\to(a,0)\to(0,-b)\to(-a,0)\to(0,b). Isso corresponde a um movimento no sentido horário (clockwise). Logo, no esboço devemos desenhar a elipse centrada na origem com setas no sentido horário, começando (se quiser marcar o ponto inicial) em (0,b).

Passo 4

Calcular a área usando a fórmula de área para curvas parametrizadas (fórmula do corolário de Green ou fórmula de Green para área): para uma curva fechada simples parametrizada por t\mapsto (x(t),y(t)) com t de 0 a 2\pi,
\text{Área}=\frac{1}{2}\oint (x\,dy - y\,dx)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(x(t)\,\dot y(t)-y(t)\,\dot x(t)\bigr)\,dt.Á
Explico rápido o que cada símbolo significa:
  • x(t),y(t) são as funções coordenadas da curva em função do parâmetro t.
  • \dot x(t)=dx/dt e \dot y(t)=dy/dt.
  • A integral fechada \oint transformou-se na integral de 0 a 2\pi porque esse é o intervalo do parâmetro que descreve a volta completa.
Agora aplicamos ao nosso caso:
  • Já calculamos \dot x=a\cos t e \dot y=-b\sin t.
  • Substituindo na integranda:
x\dot y - y\dot x = \bigl(a\sin t\bigr)\bigl(-b\sin t\bigr) - \bigl(b\cos t\bigr)\bigl(a\cos t\bigr).
Simplificando:
x\dot y - y\dot x = -ab\sin^2 t - ab\cos^2 t = -ab(\sin^2 t+\cos^2 t) = -ab.
Portanto a integral fica
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(-ab)\,dt = \frac{1}{2}(-ab)\cdot(2\pi) = -\pi ab.Á
Observação importante sobre o sinal: obtivemos área negativa porque a parametrização percorre a curva no sentido horário; a fórmula dá resultado positivo quando a curva é percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva). A magnitude da área é o valor absoluto:
\text{Área} = |\,-\pi ab\,| = \pi ab.Á

Passo 5

Método alternativo (mais intuitivo) para reforçar a ideia: considerar a transformação linear que leva o círculo unitário (u,v)=(\sin t,\cos t) para a elipse (x,y)=(a u, b v).
  • A curva (u,v)=(\sin t,\cos t) é o círculo unitário cujo interior tem área \pi.
  • A transformação (u,v)\mapsto (a u, b v) escala as distâncias em x por a e em y por b. A área é multiplicada pelo fator |\det| da matriz de escala, que é ab.
  • Logo a área da elipse é ab vezes a área do círculo unitário, ou seja ab\cdot\pi=\pi ab.
    Isto confirma o resultado anterior de forma mais geométrica e rápida.

Resposta

(a) A curva é a elipse \displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1. O movimento, ao aumentar t de 0 a 2\pi, é no sentido horário, começando em (0,b) (setas no sentido horário).
(b) \displaystyle \pi a b

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