Analise as afirmações.
I) A solução geral da equação y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+9 y=e^{-x} é
y(x)=\frac{1}{16} x e^{-x}+C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{3 x}+C_{3} x e^{3 x}, C_{1}, C_{2}, C_{3} \in \mathbb{R}
II) A solução geral da equação y^{i v}+2 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}=0. é
y(x)=C_{1}+C_{2} x+e^{x}\left(C_{3} \cos (2 x)+C_{4} \operatorname{sen}(2 x)\right), C_{k} \in \mathbb{R}, k=1,2,3,4
III) Sabemos que a função y_{1}(x)=e^{x} é solução da equação diferencial (x+1) y-(2 x+1) y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=0. Uma segunda solução LI da equação é y_{2}(x)=x^{2} e^{x}.
a. \bigcirc Apenas as afirmações I e III são verdadeiras
b. \bigcirc Apenas a afirmação I é verdadeira
c. \bigcirc Apenas a afirmação II é verdadeira
d. \bigcirc Todas as afirmações são verdadeiras
e. \bigcirc Apenas as afirmações I e II são verdadeiras

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre equações diferenciais e pede que indiquemos quais são verdadeiras. As informações dadas são:
I) A equação
y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+9y=e^{-x}
tem, segundo o enunciado, solução geral
y(x)=\frac{1}{16}x e^{-x}+C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}+C_{3}x e^{3x},\quad C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.
II) A equação
y^{(4)}+2y^{\prime\prime\prime}+5y^{\prime\prime}=0
tem, segundo o enunciado, solução geral
y(x)=C_{1}+C_{2}x+e^{x}\bigl(C_{3}\cos(2x)+C_{4}\sin(2x)\bigr),\quad C_{k}\in\mathbb{R}.
III) A equação
(x+1)y-(2x+1)y^{\prime}+x y^{\prime\prime}=0
tem uma solução dada y_{1}(x)=e^{x} e afirma-se que y_{2}(x)=x^{2}e^{x} é uma segunda solução linearmente independente (LI).
A tarefa: verificar a veracidade de I, II e III e escolher a alternativa correta entre:
a) Apenas I e III verdadeiras
b) Apenas I verdadeira
c) Apenas II verdadeira
d) Todas verdadeiras
e) Apenas I e II verdadeiras

Passo 2

Análise da afirmação I — primeiro passo: resolver a equação homogênea associada e depois achar uma particular.
  1. Equação homogênea:
y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+9y=0.
Assumimos solução da forma y=e^{rx}. Isso leva ao polinômio característico
r^{3}-5r^{2}+3r+9=0.
Testando r=3: 27-45+9+9=0, logo r=3 é raiz. Fazemos divisão polinomial por (r-3). Dividindo r^{3}-5r^{2}+3r+9 por (r-3) obtemos o quociente r^{2}-2r-3. Assim
r^{3}-5r^{2}+3r+9=(r-3)(r^{2}-2r-3).
Fatorando o quadrático:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1).
Portanto os fatores são (r-3)^{2}(r+1). As raízes são r=3 (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 1).
  1. Solução geral da homogênea:
    Para raízes reais: se r=3 com multiplicidade 2, fornece e^{3x} e x e^{3x}; para r=-1 e^{-x}. Logo
y_{h}=C_{1}e^{3x}+C_{2}x e^{3x}+C_{3}e^{-x}.
  1. Particular para o lado direito e^{-x}:
    Método dos coeficientes indeterminados: como e^{-x} corresponde à raiz r=-1 do polinômio característico com multiplicidade m=1, a forma tentativa é
y_{p}=A x e^{-x}
(em geral multiplicamos por x^{m} quando a forma do RHS é solução da homogênea com multiplicidade m).
Calculamos derivadas (tudo dentro de para clareza):
y_{p}=A x e^{-x},
y_{p}'=A(1-x)e^{-x},
y_{p}''=A(x-2)e^{-x},
y_{p}'''=A(3-x)e^{-x}.
Substituindo na equação (fatorando Ae^{-x}):
y_{p}'''-5y_{p}''+3y_{p}'+9y_{p} = A e^{-x}\bigl[(3-x)-5(x-2)+3(1-x)+9x\bigr].
Calculando o colchete:
(3-x)-5(x-2)+3(1-x)+9x = 3-x -5x+10 +3-3x +9x = 16.
Logo
L[y_{p}]=16A e^{-x}.
Queremos L[y_{p}]=e^{-x}, então 16A=1 e A=\tfrac{1}{16}. Assim
y_{p}=\frac{1}{16}x e^{-x}.
  1. Solução geral completa:
y(x)=y_{h}+y_{p}=\frac{1}{16}x e^{-x}+C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}+C_{3}x e^{3x},
que coincide exatamente com a expressão dada na afirmação I. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Análise da afirmação II — determinar a solução geral correta.
  1. Escrevemos o polinômio característico para a homogênea:
y^{(4)}+2y^{\prime\prime\prime}+5y^{\prime\prime}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{4}+2r^{3}+5r^{2}=0.
  1. Fatoramos r^{2}:
r^{2}(r^{2}+2r+5)=0.
Assim temos raízes r=0 com multiplicidade 2 e as raízes do quadrático r^{2}+2r+5=0.
  1. Resolvendo o quadrático:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
Portanto as raízes complexas têm parte real -1. Isso dá termos exponenciais e^{-x} multiplicados por funções trigonométricas.
  1. Solução geral correta:
  • Para r=0 com multiplicidade 2 obtemos C_{1}+C_{2}x.
  • Para r=-1\pm 2i obtemos e^{-x}\bigl(C_{3}\cos(2x)+C_{4}\sin(2x)\bigr).
Logo a solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}x+e^{-x}\bigl(C_{3}\cos(2x)+C_{4}\sin(2x)\bigr).
  1. Comparando com a solução dada na afirmação II, que tinha e^{x} em vez de e^{-x}, vemos que a afirmação II está incorreta: o sinal no exponencial está errado. Portanto a afirmação II é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação III — verificar se y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=x^{2}e^{x} são soluções da equação
(x+1)y-(2x+1)y^{\prime}+x y^{\prime\prime}=0
e se são linearmente independentes.
  1. Verificação direta de que y_{2}(x)=x^{2}e^{x} satisfaz a equação.
Calculamos derivadas (usando produto e exponencial):
y_{2}=x^{2}e^{x},
y_{2}'=e^{x}(x^{2}+2x),
y_{2}''=e^{x}(x^{2}+4x+2).
Substituímos na equação (fatorando e^{x} no final):
(x+1)y_{2}-(2x+1)y_{2}'+x y_{2}'' = e^{x}\Bigl[(x+1)x^{2}-(2x+1)(x^{2}+2x)+x(x^{2}+4x+2)\Bigr].
Calculamos o polinômio entre colchetes passo a passo:
(x+1)x^{2}=x^{3}+x^{2},
-(2x+1)(x^{2}+2x)=-(2x^{3}+x^{2}+4x^{2}+2x)= -2x^{3}-5x^{2}-2x,
x(x^{2}+4x+2)=x^{3}+4x^{2}+2x.
Somando:
x^{3}+x^{2} -2x^{3}-5x^{2}-2x + x^{3}+4x^{2}+2x =0.
Portanto o colchete é zero e a substituição dá zero, o que mostra que y_{2} é de fato solução da equação diferencial.
  1. Verificação de independência linear (LI) entre y_{1}=e^{x} e y_{2}=x^{2}e^{x}.
Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
W=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{x}\cdot e^{x}(x^{2}+2x) - e^{x}\cdot e^{x}x^{2} = e^{2x}(x^{2}+2x - x^{2}) = 2x e^{2x}.
Esse determinante não é identicamente zero (é zero somente no ponto isolado x=0), logo as soluções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não seja apenas o ponto x=0. Assim y_{1} e y_{2} são LI e y_{2} é uma segunda solução válida. Portanto a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto apenas as afirmações I e III são verdadeiras, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras

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