III) Sabemos que a função y_{1}(x)=e^{x} é solução da equação diferencial (x+1) y-(2 x+1) y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=0. Uma segunda solução LI da equação é y_{2}(x)=x^{2} e^{x}.
a. \bigcirc Apenas as afirmações I e III são verdadeiras
b. \bigcirc Apenas a afirmação I é verdadeira
c. \bigcirc Apenas a afirmação II é verdadeira
d. \bigcirc Todas as afirmações são verdadeiras
e. \bigcirc Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre equações diferenciais e pede que indiquemos quais são verdadeiras. As informações dadas são:
tem uma solução dada y_{1}(x)=e^{x} e afirma-se que y_{2}(x)=x^{2}e^{x} é uma segunda solução linearmente independente (LI).
A tarefa: verificar a veracidade de I, II e III e escolher a alternativa correta entre:
a) Apenas I e III verdadeiras
b) Apenas I verdadeira
c) Apenas II verdadeira
d) Todas verdadeiras
e) Apenas I e II verdadeiras
Passo 2
Análise da afirmação I — primeiro passo: resolver a equação homogênea associada e depois achar uma particular.
Assumimos solução da forma y=e^{rx}. Isso leva ao polinômio característico
r^{3}-5r^{2}+3r+9=0.
Testando r=3: 27-45+9+9=0, logo r=3 é raiz. Fazemos divisão polinomial por (r-3). Dividindo r^{3}-5r^{2}+3r+9 por (r-3) obtemos o quociente r^{2}-2r-3. Assim
r^{3}-5r^{2}+3r+9=(r-3)(r^{2}-2r-3).
Fatorando o quadrático:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1).
Portanto os fatores são (r-3)^{2}(r+1). As raízes são r=3 (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 1).
Solução geral da homogênea:
Para raízes reais: se r=3 com multiplicidade 2, fornece e^{3x} e x e^{3x}; para r=-1 dá e^{-x}. Logo
y_{h}=C_{1}e^{3x}+C_{2}x e^{3x}+C_{3}e^{-x}.
Particular para o lado direito e^{-x}:
Método dos coeficientes indeterminados: como e^{-x} corresponde à raiz r=-1 do polinômio característico com multiplicidade m=1, a forma tentativa é
y_{p}=A x e^{-x}
(em geral multiplicamos por x^{m} quando a forma do RHS é solução da homogênea com multiplicidade m).
Calculamos derivadas (tudo dentro de para clareza):
y_{p}=A x e^{-x},
y_{p}'=A(1-x)e^{-x},
y_{p}''=A(x-2)e^{-x},
y_{p}'''=A(3-x)e^{-x}.
Substituindo na equação (fatorando Ae^{-x}):
y_{p}'''-5y_{p}''+3y_{p}'+9y_{p} = A e^{-x}\bigl[(3-x)-5(x-2)+3(1-x)+9x\bigr].
Comparando com a solução dada na afirmação II, que tinha e^{x} em vez de e^{-x}, vemos que a afirmação II está incorreta: o sinal no exponencial está errado. Portanto a afirmação II é falsa.
Passo 4
Análise da afirmação III — verificar se y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=x^{2}e^{x} são soluções da equação
(x+1)y-(2x+1)y^{\prime}+x y^{\prime\prime}=0
e se são linearmente independentes.
Verificação direta de que y_{2}(x)=x^{2}e^{x} satisfaz a equação.
Calculamos derivadas (usando produto e exponencial):
y_{2}=x^{2}e^{x},
y_{2}'=e^{x}(x^{2}+2x),
y_{2}''=e^{x}(x^{2}+4x+2).
Substituímos na equação (fatorando e^{x} no final):
Esse determinante não é identicamente zero (é zero somente no ponto isolado x=0), logo as soluções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não seja apenas o ponto x=0. Assim y_{1} e y_{2} são LI e y_{2} é uma segunda solução válida. Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores:
I é verdadeira.
II é falsa.
III é verdadeira.
Portanto apenas as afirmações I e III são verdadeiras, que corresponde à alternativa (a).