Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede três coisas: a excentricidade, o tipo da cônica e a equação da diretriz.
Informações relevantes que temos explicitamente: a forma da função racional em com denomindor
e numerador igual a
. Não há mais dados no enunciado.
Informações relevantes que temos explicitamente: a forma da função racional em
Passo 2
Vamos entender a definição e a forma padrão das cônicas em polares (passo-a-passo, bem devagar).
Definição geométrica: uma cônica é o lugar geométrico dos pontos
tais que a razão entre a distância de
a um foco e a distância de
a uma diretriz é constante, essa constante é a excentricidade
. Escrevendo isso:
Quando colocamos o foco na origem do sistema polar, a distância do ponto
ao foco é simplesmente
. Se a diretriz for uma reta vertical do tipo
, a distância de
à diretriz é
. Em coordenadas polares temos
. Logo:
Passo 3
Agora aplicamos a definição:
. Para eliminar o valor absoluto, analisamos os dois sinais possíveis. Se estivermos no ramo onde
(ou seja,
), então
e:
Distributo e agrupando termos em
:
e, portanto,
Essa é uma das formas padrão das cônicas em polares (quando o sinal no denominador é
); a outra forma padrão é com
(que aparece quando
). Conclusão: uma forma padrão é
onde
é a excentricidade e
é a distância da diretriz à origem (aqui eu uso
no lugar de
).
Passo 4
Compare agora a forma padrão com a equação dada. Temos
Na forma padrão
o coeficiente multiplicando
no denominador é exatamente
. Assim igualando termos obtemos
Depois, o numerador é
, logo
Portanto
e
.
Passo 5
Classificação da cônica pelo valor de
:
- Se
a cônica é uma elipse. - Se
é uma parábola. - Se
é uma hipérbole.
Aqui
, então a cônica é uma hipérbole.
Quanto à diretriz: como nossa equação está na forma com sinal
,
isso corresponde (pela derivação feita no Passo 3) à diretriz vertical dada por
Como
, a diretriz é a reta
Isto também tem interpretação geométrica: a diretriz está localizada a
unidades à direita da origem (no eixo
positivo), e a forma com
indica esse posicionamento.
Resposta
Excentricidade:
Tipo de cônica: hipérbole ( )
Diretriz:
Tipo de cônica: hipérbole (
Diretriz: