Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
r=\frac{6}{1+2 \cos \theta}

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\frac{6}{1+2\cos\theta}
e pede três coisas: a excentricidade, o tipo da cônica e a equação da diretriz.
Informações relevantes que temos explicitamente: a forma da função racional em r com denomindor 1+2\cos\theta e numerador igual a 6. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Vamos entender a definição e a forma padrão das cônicas em polares (passo-a-passo, bem devagar).
Definição geométrica: uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P tais que a razão entre a distância de P a um foco e a distância de P a uma diretriz é constante, essa constante é a excentricidade e. Escrevendo isso:
\frac{\text{distância}(P,\text{foco})}{\text{distância}(P,\text{diretriz})}=e.ââ
Quando colocamos o foco na origem do sistema polar, a distância do ponto P ao foco é simplesmente r. Se a diretriz for uma reta vertical do tipo x=d_0, a distância de P à diretriz é |x-d_0|. Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta. Logo:
\text{distância ao foco} = r,\qquad \text{distância à diretriz} = |r\cos\theta - d_0|.ââà

Passo 3

Agora aplicamos a definição: r = e\cdot |r\cos\theta - d_0|. Para eliminar o valor absoluto, analisamos os dois sinais possíveis. Se estivermos no ramo onde r\cos\theta - d_0<0 (ou seja, r\cos\theta < d_0), então |r\cos\theta - d_0| = d_0 - r\cos\theta e:
r = e\,(d_0 - r\cos\theta).
Distributo e agrupando termos em r:
r = e d_0 - e r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r + e r\cos\theta = e d_0
r(1 + e\cos\theta) = e d_0
e, portanto,
r = \frac{e d_0}{1 + e\cos\theta}.
Essa é uma das formas padrão das cônicas em polares (quando o sinal no denominador é +\cos\theta); a outra forma padrão é com 1-e\cos\theta (que aparece quando r\cos\theta-d_0\ge0). Conclusão: uma forma padrão é
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta},
onde e é a excentricidade e d é a distância da diretriz à origem (aqui eu uso d no lugar de d_0).

Passo 4

Compare agora a forma padrão com a equação dada. Temos
r=\frac{6}{1+2\cos\theta}.
Na forma padrão \displaystyle r=\frac{e d}{1+e\cos\theta} o coeficiente multiplicando \cos\theta no denominador é exatamente e. Assim igualando termos obtemos
e = 2.
Depois, o numerador é e d, logo
e d = 6 \quad\Rightarrow\quad d=\frac{6}{e}=\frac{6}{2}=3.
Portanto e=2 e d=3.

Passo 5

Classificação da cônica pelo valor de e:
  • Se 0<e<1 a cônica é uma elipse.
  • Se e=1 é uma parábola.
  • Se e>1 é uma hipérbole.
Aqui \displaystyle e=2>1, então a cônica é uma hipérbole.
Quanto à diretriz: como nossa equação está na forma com sinal +\cos\theta,
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta},
isso corresponde (pela derivação feita no Passo 3) à diretriz vertical dada por
x=d.
Como d=3, a diretriz é a reta
x=3.
Isto também tem interpretação geométrica: a diretriz está localizada a 3 unidades à direita da origem (no eixo x positivo), e a forma com +\cos\theta indica esse posicionamento.

Resposta

Excentricidade: e=2
Tipo de cônica: hipérbole ( e>1)
Diretriz: x=3

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