Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com focos
e assíntotas
Hipérbole com focos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da cônica:
- Focos:
. - Assíntotas:
.
O que se pede: encontrar a(s) equação(ões) da hipérbole que tem esses focos e essas assíntotas.
Passo 2
Determinar o centro da hipérbole a partir dos focos. O centro de uma hipérbole está no ponto médio entre os dois focos. Calculamos o ponto médio entre
e
:
Portanto o centro é
. Isso simplifica: a hipérbole tem centro na origem.
Passo 3
Determinar a orientação (direção dos ramos) a partir da posição dos focos. Como os focos estão sobre o eixo
(ambos têm
), os ramos da hipérbole abrem para cima e para baixo — ou seja, a hipérbole é do tipo vertical. A forma padrão, centrada na origem, para uma hipérbole com eixo transverso no eixo
é
onde:
-
é a semi-distância do centro ao vértice ao longo do eixo , -
está relacionada à “largura” da hipérbole na direção , -
é a distância do centro a cada foco; aqui os focos são .
Passo 4
Anotar as relações fundamentais entre
e as assíntotas:
- Para essa forma vertical, os focos são
com
Explico: essa relação vem da definição geométrica da hipérbole e das coordenadas dos focos em relação aos vértices — é análoga à relação pitagórica para hipérboles.
- As assíntotas da hipérbole na origem têm equações
Aqui
é a inclinação das assíntotas.
Dos dados do enunciado temos
(porque os focos são
) e a inclinação das assíntotas é
(pois as assíntotas são
).
Passo 5
Expressar
em função de
usando a inclinação:
Substituir na relação
com
:
Passo 6
Resolver a equação para
. A equação
dá
Tomamos
, então
. Em seguida calcular
:
logo
.
Passo 7
Escrever a equação da hipérbole com os valores encontrados. Substituindo
e
na forma padrão vertical:
Verificação rápida (consistência): as assíntotas dessa equação são
(confere) e os focos são
com
(confere).