Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com focos (0, \pm 5) e assíntotas y= \pm \frac{3}{4} x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da cônica:
  • Focos: (0,\pm 5).
  • Assíntotas: y=\pm \tfrac{3}{4}x.
O que se pede: encontrar a(s) equação(ões) da hipérbole que tem esses focos e essas assíntotas.

Passo 2

Determinar o centro da hipérbole a partir dos focos. O centro de uma hipérbole está no ponto médio entre os dois focos. Calculamos o ponto médio entre (0,5) e (0,-5):
\left(\frac{0+0}{2},\frac{5+(-5)}{2}\right)=(0,0).
Portanto o centro é (0,0). Isso simplifica: a hipérbole tem centro na origem.

Passo 3

Determinar a orientação (direção dos ramos) a partir da posição dos focos. Como os focos estão sobre o eixo y (ambos têm x=0), os ramos da hipérbole abrem para cima e para baixo — ou seja, a hipérbole é do tipo vertical. A forma padrão, centrada na origem, para uma hipérbole com eixo transverso no eixo y é
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • a>0 é a semi-distância do centro ao vértice ao longo do eixo y,
  • b>0 está relacionada à “largura” da hipérbole na direção x,
  • c>0 é a distância do centro a cada foco; aqui os focos são (0,\pm c).

Passo 4

Anotar as relações fundamentais entre a,b,c e as assíntotas:
  • Para essa forma vertical, os focos são (0,\pm c) com
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Explico: essa relação vem da definição geométrica da hipérbole e das coordenadas dos focos em relação aos vértices — é análoga à relação pitagórica para hipérboles.
  • As assíntotas da hipérbole na origem têm equações
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Aqui \frac{a}{b} é a inclinação das assíntotas.
Dos dados do enunciado temos \,c=5\, (porque os focos são (0,\pm5)) e a inclinação das assíntotas é \frac{a}{b}=\frac{3}{4} (pois as assíntotas são y=\pm\tfrac{3}{4}x).

Passo 5

Expressar b em função de a usando a inclinação:
\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{4}{3}a.
Substituir na relação c^{2}=a^{2}+b^{2} com c=5:
25=a^{2}+\left(\frac{4}{3}a\right)^{2}=a^{2}+\frac{16}{9}a^{2}=\frac{25}{9}a^{2}.

Passo 6

Resolver a equação para a^{2}. A equação \frac{25}{9}a^{2}=25
a^{2}=25\cdot\frac{9}{25}=9.
Tomamos a>0, então a=3. Em seguida calcular b:
b=\frac{4}{3}a=\frac{4}{3}\cdot 3=4,
logo b^{2}=16.

Passo 7

Escrever a equação da hipérbole com os valores encontrados. Substituindo a^{2}=9 e b^{2}=16 na forma padrão vertical:
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1.
Verificação rápida (consistência): as assíntotas dessa equação são y=\pm\frac{a}{b}x=\pm\frac{3}{4}x (confere) e os focos são (0,\pm c) com c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 (confere).

Resposta

\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1

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