Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com vértices
e excentricidade
Elipse com vértices
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas” para a cônica que é uma elipse com vértices
e excentricidade
.
Informações fornecidas:
e
são os vértices da elipse.
A excentricidade é .
A excentricidade é
Passo 2
Identificar o centro e a orientação da elipse a partir dos vértices.
Os vértices são pontos opostos sobre o eixo maior; o centro da elipse é o ponto médio dos vértices. O ponto médio de
e
é
, então o centro é
.
Como os vértices têm coordenadas com
e diferentes
, o eixo maior é vertical (ao longo do eixo
).
Passo 3
Determinar a semi‑maior
.
A distância do centro a um vértice é a semi‑maior
. Como o vértice superior é
e o centro é
,
Passo 4
Relacionar excentricidade
com a distância focal
.
Por definição de elipse, a excentricidade é
, onde
é a distância do centro a cada foco. Então
Os focos ficam em
— isto é um bom checagem.
Passo 5
Encontrar a semi‑menor
usando a relação geométrica da elipse.
Para uma elipse com eixo maior vertical (centro na origem), vale a relação
Uma forma de ver isso rapidamente: no ponto
a soma das distâncias aos focos é
, e isso leva a
, daí
e
.
Substituindo os valores:
Portanto
, mas para a equação basta
.
Passo 6
Escrever a equação padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical.
A forma padrão para essa orientação é
onde
está sob
porque o eixo maior é vertical.
Passo 7
Substituir
e
na equação padrão.
Substituindo obtemos