Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com vértices (0, \pm 6) e excentricidade 1 / 2

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas” para a cônica que é uma elipse com vértices (0,\pm 6) e excentricidade 1/2.
Informações fornecidas:
\\ (0,6) e \\ (0,-6) são os vértices da elipse.
A excentricidade é \\ e=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Identificar o centro e a orientação da elipse a partir dos vértices.
Os vértices são pontos opostos sobre o eixo maior; o centro da elipse é o ponto médio dos vértices. O ponto médio de (0,6) e (0,-6) é (0,0), então o centro é (0,0).
Como os vértices têm coordenadas com x=0 e diferentes y, o eixo maior é vertical (ao longo do eixo y).

Passo 3

Determinar a semi‑maior a.
A distância do centro a um vértice é a semi‑maior \,a. Como o vértice superior é (0,6) e o centro é (0,0),
a=6.

Passo 4

Relacionar excentricidade e com a distância focal c.
Por definição de elipse, a excentricidade é \displaystyle e=\frac{c}{a}, onde \,c é a distância do centro a cada foco. Então
c = e\cdot a = \frac{1}{2}\cdot 6 = 3.
Os focos ficam em (0,\pm c)=(0,\pm 3) — isto é um bom checagem.

Passo 5

Encontrar a semi‑menor b usando a relação geométrica da elipse.
Para uma elipse com eixo maior vertical (centro na origem), vale a relação
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Uma forma de ver isso rapidamente: no ponto (b,0) a soma das distâncias aos focos é 2a, e isso leva a 2\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2a, daí \sqrt{b^{2}+c^{2}}=a e b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Substituindo os valores:
b^{2}=6^{2}-3^{2}=36-9=27.
Portanto b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}, mas para a equação basta b^{2}=27.

Passo 6

Escrever a equação padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical.
A forma padrão para essa orientação é
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,
onde a está sob y^{2} porque o eixo maior é vertical.

Passo 7

Substituir a^{2}=36 e b^{2}=27 na equação padrão.
Substituindo obtemos
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1.

Resposta

\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1

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