Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
r=\frac{10}{3-2 \cos \theta}

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r=\frac{10}{3-2\cos\theta}
e pede três coisas:
  1. Identificar a excentricidade.
  2. Identificar o tipo de cônica (elipse, parábola ou hipérbole).
  3. Encontrar a equação da diretriz (em coordenadas cartesianas, se for mais claro).
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação polar acima.

Passo 2

Vou relembrar a forma padrão da equação polar de uma cônica com foco na origem (essa é a fórmula que usamos para identificar os parâmetros).
A forma geral é
r=\frac{e d}{1+e\cos(\theta-\theta_0)}
onde:
  • \,e é a excentricidade (número real não negativo). Ela determina o tipo da cônica: se e<1 é elipse, e=1 é parábola, e>1 é hipérbole.
  • \,d é a distância entre a diretriz e a origem (ou seja, o módulo da ordenada/abscissa da linha diretriz, dependendo da orientação).
  • \theta_0 é o ângulo que indica a direção da diretriz (se não houver \theta_0 explícito, podemos assumir \theta_0=0 e comparar sinais).
    Observação prática: quando a equação aparece como
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta}
a diretriz associada fica vertical e a uma distância d à direita da origem (linha x=d); quando aparece como
r=\frac{e d}{1-e\cos\theta}
ela corresponde à diretriz vertical à esquerda da origem (linha x=-d). Vou demonstrar essa correspondência mais adiante para você entender por quê.

Passo 3

Vamos reescrever a equação dada numa forma que facilite a comparação com a forma padrão. Parto de
r=\frac{10}{3-2\cos\theta}.
Fatorando 3 no denominador:
r=\frac{10}{3\bigl(1-\tfrac{2}{3}\cos\theta\bigr)}
ou seja
r=\frac{10/3}{1-\tfrac{2}{3}\cos\theta}.
Agora isso tem a aparência de
r=\frac{e d}{1 - e\cos\theta}.
Comparando termo a termo, identificamos imediatamente
e=\tfrac{2}{3} \qquad\text{e}\qquad e d=\tfrac{10}{3}.

Passo 4

A partir de e d=\tfrac{10}{3} e de e=\tfrac{2}{3} podemos calcular d. Basta dividir:
d=\frac{e d}{e}=\frac{\tfrac{10}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5.
Portanto d=5.

Passo 5

Agora, com \,e=\tfrac{2}{3}, decidimos o tipo da cônica usando a regra:
  • se \,e<1 então é elipse;
  • se \,e=1 então é parábola;
  • se \,e>1 então é hipérbole.
Como \tfrac{2}{3}<1, concluímos que a cônica é uma elipse. Vou explicar intuitivamente: a excentricidade mede “o quanto” a cônica é alongada; valores menores que 1 significam uma figura fechada (elipse).

Passo 6

Falta agora justificar e escrever a equação da diretriz. Temos a equação no formato
r=\frac{e d}{1 - e\cos\theta}.
Quero mostrar rapidamente por que isso corresponde a uma diretriz vertical à esquerda, x=-d.
Definição da cônica (com foco na origem): a distância do ponto (r,\theta) ao foco (origem) é r. A distância desse ponto à reta vertical x=-d é |r\cos\theta + d|. A condição da cônica é
r = e\cdot |r\cos\theta + d|.
Se estamos no ramo onde r\cos\theta + d \ge 0 (o caso que dá a forma regular), então
r = e\bigl(r\cos\theta + d\bigr).
Fazendo as contas:
r = e r\cos\theta + e d \quad\Rightarrow\quad r\bigl(1-e\cos\theta\bigr)=e d \quad\Rightarrow\quad r=\frac{e d}{1-e\cos\theta},
que é exatamente o nosso formato. Assim a diretriz é a reta vertical
x=-d.
Como já calculamos d=5, a diretriz é x=-5.

Resposta

\,e=\tfrac{2}{3}
Elipse
Diretriz: \,x=-5

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