Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pede três coisas:
- Identificar a excentricidade.
- Identificar o tipo de cônica (elipse, parábola ou hipérbole).
- Encontrar a equação da diretriz (em coordenadas cartesianas, se for mais claro).
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação polar acima.
Passo 2
Vou relembrar a forma padrão da equação polar de uma cônica com foco na origem (essa é a fórmula que usamos para identificar os parâmetros).
A forma geral é
A forma geral é
onde:
-
é a excentricidade (número real não negativo). Ela determina o tipo da cônica: se é elipse, é parábola, é hipérbole. -
é a distância entre a diretriz e a origem (ou seja, o módulo da ordenada/abscissa da linha diretriz, dependendo da orientação). -
é o ângulo que indica a direção da diretriz (se não houver explícito, podemos assumir e comparar sinais).
Observação prática: quando a equação aparece como
a diretriz associada fica vertical e a uma distância
à direita da origem (linha
); quando aparece como
ela corresponde à diretriz vertical à esquerda da origem (linha
). Vou demonstrar essa correspondência mais adiante para você entender por quê.
Passo 3
Vamos reescrever a equação dada numa forma que facilite a comparação com a forma padrão. Parto de
Fatorando
no denominador:
ou seja
Agora isso tem a aparência de
Comparando termo a termo, identificamos imediatamente
Passo 4
A partir de
e de
podemos calcular
. Basta dividir:
Portanto
.
Passo 5
Agora, com
, decidimos o tipo da cônica usando a regra:
- se
então é elipse; - se
então é parábola; - se
então é hipérbole.
Como
, concluímos que a cônica é uma elipse. Vou explicar intuitivamente: a excentricidade mede “o quanto” a cônica é alongada; valores menores que 1 significam uma figura fechada (elipse).
Passo 6
Falta agora justificar e escrever a equação da diretriz. Temos a equação no formato
Quero mostrar rapidamente por que isso corresponde a uma diretriz vertical à esquerda,
.
Definição da cônica (com foco na origem): a distância do ponto
ao foco (origem) é
. A distância desse ponto à reta vertical
é
. A condição da cônica é
Se estamos no ramo onde
(o caso que dá a forma regular), então
Fazendo as contas:
que é exatamente o nosso formato. Assim a diretriz é a reta vertical
Como já calculamos
, a diretriz é
.
Resposta
Elipse
Diretriz: