Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com excentricidade
e diretriz
Parábola com excentricidade
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Dado: excentricidade
. - Dado: diretriz
. - Pedido: escrever a equação em coordenadas polares da cônica com essas propriedades.
Observação que vou usar (padrão): o pólo (origem das coordenadas polares) está colocado no foco da cônica e o eixo polar coincide com o eixo
positivo. Não vou pedir nada a mais — essa é a convenção usual para escrever a equação polar da cônica.
Passo 2
Primeira ideia (definição fundamental que vamos usar): a definição foco–diretriz das cônicas diz que, para todo ponto
da cônica,
Aqui:
-
é a excentricidade (neste caso , portanto é uma parábola). - Se colocamos o foco na origem polar, a distância do ponto
ao foco é simplesmente (onde e são as coordenadas polares de ).
Vou explicar também como escrever a distância de um ponto
até a reta diretriz
:
- Em coordenadas cartesianas, o ponto
tem coordenadas e . - A distância do ponto
à reta vertical é , isto é .
Portanto, usando a definição foco–diretriz, a equação em polar parte de
Passo 3
Substituímos
na equação anterior:
Agora precisamos escolher o sinal do valor absoluto. Para decidir, pense em pontos sobre o eixo polar
(isso ajuda a identificar o ramo correto):
- Para
temos e a equação vira . - Uma solução física (com
) é (porque ), então nesse caso o argumento do módulo é negativo ( ), o que indica que, para os pontos relevantes da cônica, costuma valer . - Assim escolhemos a ramo com sinal negativo dentro do módulo:
(Essa escolha corresponde geometricamente ao fato de que a diretriz
está à direita do foco na origem, então os pontos da parábola que ficam entre o foco e a diretriz satisfazem
.)
Passo 4
Agora vamos isolar
. A equação
pode ser rearranjada juntando os termos com
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 5
Finalmente isolamos
:
Essa é a equação polar da parábola pedida, com foco na origem e diretriz
.
Uma observação didática: existe uma forma geral para a polar de uma cônica com foco na origem e diretriz vertical
à direita do foco:
Aqui
é a distância da origem à diretriz (no nosso caso
) e
é a excentricidade. Substituindo
e
obtemos exatamente
.
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança e usar em prova): calcule
em
:
logo o vértice fica no ponto
, isto é
, o que faz sentido: vértice entre foco (origem) e diretriz
.
Outra forma útil de reescrever a equação, usando a identidade
, é
mas a forma mais direta e standard é
.