Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com excentricidade e=1 e diretriz x=2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dado: excentricidade \,e=1\,.
  • Dado: diretriz \,x=2\,.
  • Pedido: escrever a equação em coordenadas polares da cônica com essas propriedades.
Observação que vou usar (padrão): o pólo (origem das coordenadas polares) está colocado no foco da cônica e o eixo polar coincide com o eixo x positivo. Não vou pedir nada a mais — essa é a convenção usual para escrever a equação polar da cônica.

Passo 2

Primeira ideia (definição fundamental que vamos usar): a definição foco–diretriz das cônicas diz que, para todo ponto P da cônica,
\text{distância}(P,\;\text{foco}) \;=\; e \cdot \text{distância}(P,\;\text{diretriz}).ââ
Aqui:
  • \,e é a excentricidade (neste caso \,e=1, portanto é uma parábola).
  • Se colocamos o foco na origem polar, a distância do ponto P ao foco é simplesmente r (onde r e \theta são as coordenadas polares de P).
Vou explicar também como escrever a distância de um ponto (r,\theta) até a reta diretriz \,x=2:
  • Em coordenadas cartesianas, o ponto P tem coordenadas x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • A distância do ponto P à reta vertical \,x=2 é |x-2|, isto é |r\cos\theta - 2|.
Portanto, usando a definição foco–diretriz, a equação em polar parte de
r \;=\; e \cdot |r\cos\theta - 2|.

Passo 3

Substituímos \,e=1\, na equação anterior:
r \;=\; |r\cos\theta - 2|.
Agora precisamos escolher o sinal do valor absoluto. Para decidir, pense em pontos sobre o eixo polar \theta=0 (isso ajuda a identificar o ramo correto):
  • Para \theta=0 temos \cos\theta=1 e a equação vira r = |r - 2|.
  • Uma solução física (com r>0) é r=1 (porque 1 = |1-2| = 1), então nesse caso o argumento do módulo é negativo ( r - 2 = -1 \le 0), o que indica que, para os pontos relevantes da cônica, costuma valer r\cos\theta - 2 \le 0.
  • Assim escolhemos a ramo com sinal negativo dentro do módulo:
r = 2 - r\cos\theta.
(Essa escolha corresponde geometricamente ao fato de que a diretriz \,x=2 está à direita do foco na origem, então os pontos da parábola que ficam entre o foco e a diretriz satisfazem r\cos\theta \le 2.)

Passo 4

Agora vamos isolar r. A equação
r = 2 - r\cos\theta
pode ser rearranjada juntando os termos com r:
r + r\cos\theta = 2.
Fatorando r do lado esquerdo:
r(1+\cos\theta) = 2.

Passo 5

Finalmente isolamos r:
r \;=\; \frac{2}{1+\cos\theta}.
Essa é a equação polar da parábola pedida, com foco na origem e diretriz \,x=2.
Uma observação didática: existe uma forma geral para a polar de uma cônica com foco na origem e diretriz vertical x=d à direita do foco:
r \;=\; \frac{e d}{1 + e\cos\theta}.
Aqui d é a distância da origem à diretriz (no nosso caso d=2) e e é a excentricidade. Substituindo e=1 e d=2 obtemos exatamente \;r=\dfrac{2}{1+\cos\theta}.

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança e usar em prova): calcule r em \theta=0:
r(0)=\frac{2}{1+\cos 0}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1,
logo o vértice fica no ponto (r,\theta)=(1,0), isto é (x,y)=(1,0), o que faz sentido: vértice entre foco (origem) e diretriz x=2.
Outra forma útil de reescrever a equação, usando a identidade 1+\cos\theta = 2\cos^{2}\!\tfrac{\theta}{2}, é
r = \frac{2}{1+\cos\theta} = \frac{2}{2\cos^{2}\!\tfrac{\theta}{2}} = \operatorname{sec}^{2}\!\tfrac{\theta}{2},
mas a forma mais direta e standard é \;r=\dfrac{2}{1+\cos\theta}.

Resposta

r=\frac{2}{1+\cos\theta}

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