Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
r=\frac{8}{2-\sin \theta}

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r=\frac{8}{2-\sin\theta}
e pede três coisas: (1) a excentricidade, (2) o tipo da cônica e (3) a equação da diretriz. Essas são as únicas informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Vou te explicar a fórmula padrão que usamos aqui — é essencial entender isso para resolver rapidinho na prova.
Definição geométrica de cônica com foco na origem: todo ponto P satisfeito
r = e \cdot (\text{distância do ponto }P\text{ até a diretriz}),âé
onde e é a excentricidade (um número que caracteriza se a curva é elipse, parábola ou hipérbole) e a diretriz é uma reta fixa. Em coordenadas polares isso dá fórmulas padrão. Por exemplo:
  • Se a diretriz é a reta vertical x=d com d>0 e os pontos considerados estão entre a origem e a diretriz, a dedução (usando x=r\cos\theta e distância até a reta) leva a
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta}.
  • Se a diretriz é a reta vertical x=-d (à esquerda da origem), obtemos
r=\frac{e d}{1-e\cos\theta}.
  • Se a diretriz é a reta horizontal y=d (acima da origem), obtemos
r=\frac{e d}{1+e\sin\theta}.
  • Se a diretriz é a reta horizontal y=-d (abaixo da origem), obtemos
r=\frac{e d}{1-e\sin\theta}.
Aqui e é a excentricidade e d é a distância da diretriz ao polo (origem). Sobre o tipo da cônica:
  • Se \,e<1, é uma elipse.
  • Se \,e=1, é uma parábola.
  • Se \,e>1, é uma hipérbole.
Isso tudo vem direto da definição r = e\cdot(\text{distância até a diretriz})âé e usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.

Passo 3

Agora vou pôr a equação dada na forma padrão para identificar e e d. Começo simplificando a expressão:
r=\frac{8}{2-\sin\theta}.
Divido numerador e denominador por 2:
r=\frac{8/2}{1-\tfrac{1}{2}\sin\theta}=\frac{4}{1-\tfrac{1}{2}\sin\theta}.

Passo 4

Compare esta forma com as fórmulas padrão que vimos. Ela é da forma
r=\frac{e d}{1 - e\sin\theta}.
Logo podemos identificar:
e=\tfrac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad e d = 4.
Como e=\tfrac{1}{2}, obtemos d resolvendo \tfrac{1}{2}\,d = 4, daí
d=8.

Passo 5

Determine o tipo da cônica usando e: como \,e=\tfrac{1}{2}<1, a curva é uma elipse. Expliquei lá em cima que e<1 implica elipse — é a própria definição.
Agora a questão da diretriz: como o denominador é 1 - e\sin\theta, na lista que deduzimos acima isso corresponde à diretriz horizontal abaixo da origem, ou seja, à reta
y=-d.
Como d=8, a diretriz é
y=-8.

Resposta

e=\tfrac{1}{2}
Elipse
y=-8

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