Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pede três coisas: (1) a excentricidade, (2) o tipo da cônica e (3) a equação da diretriz. Essas são as únicas informações relevantes fornecidas.
Passo 2
Vou te explicar a fórmula padrão que usamos aqui — é essencial entender isso para resolver rapidinho na prova.
Definição geométrica de cônica com foco na origem: todo ponto
satisfeito
onde
é a excentricidade (um número que caracteriza se a curva é elipse, parábola ou hipérbole) e a diretriz é uma reta fixa. Em coordenadas polares isso dá fórmulas padrão. Por exemplo:
- Se a diretriz é a reta vertical
com e os pontos considerados estão entre a origem e a diretriz, a dedução (usando e distância até a reta) leva a
- Se a diretriz é a reta vertical
(à esquerda da origem), obtemos
- Se a diretriz é a reta horizontal
(acima da origem), obtemos
- Se a diretriz é a reta horizontal
(abaixo da origem), obtemos
Aqui
é a excentricidade e
é a distância da diretriz ao polo (origem). Sobre o tipo da cônica:
- Se
, é uma elipse. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Isso tudo vem direto da definição
e usando
,
.
Passo 3
Agora vou pôr a equação dada na forma padrão para identificar
e
. Começo simplificando a expressão:
Divido numerador e denominador por
:
Passo 4
Compare esta forma com as fórmulas padrão que vimos. Ela é da forma
Logo podemos identificar:
Como
, obtemos
resolvendo
, daí
Passo 5
Determine o tipo da cônica usando
: como
, a curva é uma elipse. Expliquei lá em cima que
implica elipse — é a própria definição.
Agora a questão da diretriz: como o denominador é
, na lista que deduzimos acima isso corresponde à diretriz horizontal abaixo da origem, ou seja, à reta
Como
, a diretriz é
Resposta
Elipse