Problemas de otimização:
Um projétil é lançado com velocidade inicial
e ângulo
. Suas equações paramétricas são
. Encontre o alcance máximo
Um projétil é lançado com velocidade inicial
Passo 1
O enunciado dá a trajetória paramétrica do projétil e pede o alcance máximo. Vamos listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dado:
As constantes e variáveis mostradas são:
Pedido:
Encontrar o alcance máximo, ou seja, o maior valor possível da coordenada horizontal quando o projétil retorna ao nível de lançamento (quando
novamente), variando o ângulo
.
Encontrar o alcance máximo, ou seja, o maior valor possível da coordenada horizontal
Passo 2
Entender o que significa “alcance”. O alcance
é o valor de
no tempo de voo total
(o instante
em que
). Portanto vamos:
- determinar
resolvendo para ; - substituir esse
em para obter em função de ; - maximizar
em relação a .
Passo 3
Resolver
para achar o tempo de voo (não confundir com
, que é o instante inicial).
Partimos de
Esta é uma equação do segundo grau em
. Podemos fatorar
:
As soluções são
(início) e a solução não-nula
Explicação didática: como o termo em
vem com coeficiente
e o termo em
com
, a fatoração é direta e a segunda solução aparece isolando
.
Passo 4
Agora calculamos o alcance
substituindo
em
.
Temos
logo, em
,
Multiplicando os termos:
Passo 5
Usar identidade trigonométrica para simplificar a expressão. A identidade importante é
Aplicando-a, obtemos a forma mais simples do alcance em função de
:
Comentário didático: essa forma é conveniente porque a dependência em
está toda dentro de
, cuja amplitude máxima é conhecida (entre
e
).
Passo 6
Agora vamos maximizar
. Método 1 (mais direto e intuitivo): sabemos que para qualquer ângulo real a função seno satisfaz
, com igualdade quando
. Assim,
atinge seu máximo
quando
Substituindo
em
, o alcance máximo é
Comentário didático: esse raciocínio evita derivadas e usa uma propriedade básica do seno — muito útil em prova para economizar tempo.
Passo 7
Método 2 (usando cálculo, para quem prefere derivadas): derivamos
em relação a
e igualamos a zero para achar extremos.
Derivada:
Igualando a zero:
Isto dá
No intervalo usual de lançamento
, a solução relevante é
.
Passo 8
Confirmar que
é máximo (não mínimo). Calculamos a segunda derivada:
Em
temos
, então
Como a segunda derivada é negativa, o ponto é de máximo, confirmando o resultado do Passo 6.
Passo 9
Resumo prático para prova (como fazer rápido):
- Encontre
resolvendo . - Substitua em
para obter . - Use que
atinge em , logo máximo em e . Isso é rápido e sem cálculo se lembrar da identidade .