Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
r=\sin \theta, 0 \leq \theta \leq \pi / 2, eixo \theta=\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva polar r=\sin \theta, para 0 \leq \theta \leq \pi/2, em torno do eixo \theta=\pi/2.\n
Informações dadas:
r(\theta)=\sin\theta,\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},
e o eixo de rotação é \theta=\frac{\pi}{2} (isto é, o eixo y no plano cartesiano, pois \theta=\pi/2 corresponde à reta x=0).\n
O que se pede: calcular a área da superfície gerada por essa rotação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a curva em coordenadas paramétricas (cartesianas) usando r(\theta):
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Ao girar uma curva plana em torno do eixo y, a fórmula para a área da superfície gerada é a fórmula padrão de revolução:
S=2\pi\int_{a}^{b} \big(\text{raio até o eixo}\big)\;ds,é
onde ds é o elemento de comprimento de arco e o “raio até o eixo” é a distância perpendicular do ponto ao eixo de rotação. Aqui o eixo é o eixo y, então a distância perpendicular é |x(\theta)|. Para 0\le\theta\le\pi/2 temos x(\theta)\ge0, então o raio é simplesmente x(\theta)=r(\theta)\cos\theta.\n
Agora precisamos de ds em função de \theta. Usando as parametrizações x(\theta) e y(\theta),
ds=\sqrt{\Big(\frac{dx}{d\theta}\Big)^{2}+\Big(\frac{dy}{d\theta}\Big)^{2}}\,d\theta.
Vou mostrar uma forma útil e rápida de obter ds diretamente em coordenadas polares: partindo de x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, calcula-se
\frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta - r\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta + r\cos\theta,
então
\Big(\frac{dx}{d\theta}\Big)^{2}+\Big(\frac{dy}{d\theta}\Big)^{2}=(r')^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)= (r')^{2}+r^{2}.
Portanto a fórmula padrão em coordenadas polares é
ds=\sqrt{r^{2}+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}}\,d\theta.

Passo 3

Juntando tudo, a área da superfície gerada ao girar em torno do eixo y é
S=2\pi\int_{0}^{\pi/2} \big(r(\theta)\cos\theta\big)\,\sqrt{r(\theta)^{2}+\big(r'(\theta)\big)^{2}}\,d\theta.
Agora substituímos r(\theta)=\sin\theta. Calculamos também a derivada:
r'(\theta)=\frac{dr}{d\theta}=\cos\theta.
Então
r(\theta)^{2}+\big(r'(\theta)\big)^{2}=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,
e portanto \sqrt{r^{2}+(r')^{2}}=1. Isso simplifica muito o integrando.

Passo 4

Com a simplificação, a integral fica
S=2\pi\int_{0}^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Use a identidade \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) ou faça substituição simples. Usando a identidade:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta.
Fazendo a primitiva,
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big(\cos(0)-\cos(\pi)\big) =\frac{1}{4}(1-(-1))=\frac{1}{2}.
Portanto
S=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): a curva r=\sin\theta é um círculo de equação x^{2}+(y-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4} (peguei isso ao multiplicar r=\sin\theta por r e converter). A parte com 0\le\theta\le\pi/2 corresponde à metade direita desse círculo, e ao girá-la em torno do eixo y obtemos uma esfera de raio \tfrac{1}{2}. A área da esfera é 4\pi r^{2}=4\pi(\tfrac{1}{2})^{2}=\pi, que coincide com o cálculo integral acima — bom sinal de checagem.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados