Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
, eixo
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva polar
, para
, em torno do eixo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
e o eixo de rotação é
(isto é, o eixo
no plano cartesiano, pois
corresponde à reta
).\n
O que se pede: calcular a área da superfície gerada por essa rotação.
O que se pede: calcular a área da superfície gerada por essa rotação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a curva em coordenadas paramétricas (cartesianas) usando
:
Ao girar uma curva plana em torno do eixo
, a fórmula para a área da superfície gerada é a fórmula padrão de revolução:
onde
é o elemento de comprimento de arco e o “raio até o eixo” é a distância perpendicular do ponto ao eixo de rotação. Aqui o eixo é o eixo
, então a distância perpendicular é
. Para
temos
, então o raio é simplesmente
.\n
Agora precisamos de em função de
. Usando as parametrizações
e
,
Agora precisamos de
Vou mostrar uma forma útil e rápida de obter
diretamente em coordenadas polares: partindo de
e
, calcula-se
então
Portanto a fórmula padrão em coordenadas polares é
Passo 3
Juntando tudo, a área da superfície gerada ao girar em torno do eixo
é
Agora substituímos
. Calculamos também a derivada:
Então
e portanto
. Isso simplifica muito o integrando.
Passo 4
Com a simplificação, a integral fica
Vamos calcular essa integral passo a passo. Use a identidade
ou faça substituição simples. Usando a identidade:
Fazendo a primitiva,
Portanto
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): a curva
é um círculo de equação
(peguei isso ao multiplicar
por
e converter). A parte com
corresponde à metade direita desse círculo, e ao girá-la em torno do eixo
obtemos uma esfera de raio
. A área da esfera é
, que coincide com o cálculo integral acima — bom sinal de checagem.